Estamos interessados em entender o que ocorre quando um feixe de partículas, todas com a mesma energia total E, se propaga da esquerda para a direita e encontra um degrau de potencial. Considere o seguinte:
a) Discuta as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo para as regiões x<0 e x>0.
b) Explique por que a imposição das condições de continuidade sobre a função de onda e sua derivada é necessária neste problema.
c) Determine e expresse os coeficientes de reflexão R e transmissão T, discutindo seus significados físicos.

Passo 1

Beleza, olha só o que a questão pede: temos um feixe de partículas, todas com energia total E, que viajam de x<0 para x>0 e encontram um degrau de potencial (digamos que em x<0 o potencial V=0 e em x>0 o potencial vale V0). A matéria aqui é Mecânica Quântica, mais especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo aplicada a um potencial em degrau. Para resolver, vamos precisar:
  1. Escrever as soluções da equação de Schrödinger em cada região (onde o potencial é constante).
  2. Entender e aplicar as condições de continuidade de psi(x) e psi'(x) em x=0.
  3. Calcular os coeficientes de reflexão R e transmissão T a partir dos fluxos de probabilidade.

Passo 2

Região I ( x<0, V=0):
A equação de Schrödinger independente do tempo é
-hbar^22m,d^2psidx^2 + V(x),psi = E,psi
Como aqui V=0, vira
d^2psidx^2 + k1^2,psi = 0,com k1 = raiz2mEhbar
A solução geral é combinação de ondas planas indo para a direita (amplitude A) e para a esquerda (amplitude B):
psiI(x) = A,e^ik1 x + B,e^-ik1 x
Interpretando: A,e^ik1x é onda incidente, B,e^-ik1x é onda refletida.

Passo 3

Região II ( x>0, V=V0):
A equação fica
d^2psidx^2 + k2^2,psi = 0,com k2 = raiz2m,(E - V0)hbar
(assumindo E>V0 para ter onda transmitida). A solução geral é
psiII(x) = C,e^ik2 x + D,e^-ik2 x
Mas nessa região não tem onda chegando da direita, só pode ter onda transmitida para +x, então D=0. Logo
psiII(x) = C,e^ik2 x

Passo 4

Condições de contorno em x=0:
  1. Continuidade da função de onda: psiI(0) = psiII(0)
A + B = C
2) Continuidade da derivada: psi'I(0) = psi'II(0)
ik1(A - B) = ik2,C
Isso garante que não haja “saltos” na probabilidade nem em sua corrente.

Passo 5

Agora basta resolver o sistema
(i) A + B = C
(ii) k1(A - B) = k2,C.
Da (i) C = A+B. Substituindo na (ii):
k1(A - B) = k2(A + B)longrightarrow k1 A - k1 B = k2 A + k2 B
Rightarrow (k1 - k2)A = (k1 + k2)BLongrightarrow B = k1 - k2k1 + k2,A,
e
C = A + B = Al(1 + k1 - k2k1 + k2r) = A,2k1k1 + k2

Passo 6

Definindo fluxos de probabilidade (corrente quântica) para onda plana:
j = hbar km,|amplitude|^2
- Fluxo incidente: jrm inc=hbar k1m|A|^2.
- Fluxo refletido: jrm ref=hbar k1m|B|^2.
- Fluxo transmitido: jrm trans=hbar k2m|C|^2.
Logo os coeficientes:
R = jrm refjrm inc = |B|^2|A|^2 = l(k1 - k2k1 + k2r)^2,
T = jrm transjrm inc = k2k1,|C|^2|A|^2 = k2k1,l(2k1k1 + k2r)^2 = 4,k1,k2(k1 + k2)^2

Resposta

Os coeficientes de reflexão e transmissão são
boxedR = l(k1 - k2k1 + k2r)^2, T = 4,k1,k2(k1 + k2)^2,
com k1 = raiz2mEhbar e k2 = raiz2m(E-V0)hbar.
Fisicamente, R é a probabilidade de a partícula ser refletida no degrau e T a probabilidade de ela atravessar o degrau.

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