Estamos interessados em entender o que ocorre quando um feixe de partículas, todas com a mesma energia total
, se propaga da esquerda para a direita e encontra um degrau de potencial. Considere o seguinte:
a) Discuta as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo para as regiões
e
.
b) Explique por que a imposição das condições de continuidade sobre a função de onda e sua derivada é necessária neste problema.
c) Determine e expresse os coeficientes de reflexão
e transmissão
, discutindo seus significados físicos.
a) Discuta as soluções da equação de Schrödinger independente do tempo para as regiões
b) Explique por que a imposição das condições de continuidade sobre a função de onda e sua derivada é necessária neste problema.
c) Determine e expresse os coeficientes de reflexão
Passo 1
Beleza, olha só o que a questão pede: temos um feixe de partículas, todas com energia total
, que viajam de
para
e encontram um degrau de potencial (digamos que em
o potencial
e em
o potencial vale
). A matéria aqui é Mecânica Quântica, mais especificamente a equação de Schrödinger independente do tempo aplicada a um potencial em degrau. Para resolver, vamos precisar:
- Escrever as soluções da equação de Schrödinger em cada região (onde o potencial é constante).
- Entender e aplicar as condições de continuidade de
e em . - Calcular os coeficientes de reflexão
e transmissão a partir dos fluxos de probabilidade.
Passo 2
Região I (
,
):
A equação de Schrödinger independente do tempo é
A equação de Schrödinger independente do tempo é
Como aqui
A solução geral é combinação de ondas planas indo para a direita (amplitude
) e para a esquerda (amplitude
):
Interpretando:
Passo 3
Região II (
,
):
A equação fica
A equação fica
(assumindo
Mas nessa região não tem onda chegando da direita, só pode ter onda transmitida para
, então
. Logo
Passo 4
Condições de contorno em
:
- Continuidade da função de onda:
⇒
2) Continuidade da derivada:
Isso garante que não haja “saltos” na probabilidade nem em sua corrente.
Passo 5
Agora basta resolver o sistema
(i)
(ii) .
Da (i) . Substituindo na (ii):
(i)
(ii)
Da (i)
e
Passo 6
Definindo fluxos de probabilidade (corrente quântica) para onda plana:
- Fluxo incidente:
- Fluxo refletido:
- Fluxo transmitido:
Logo os coeficientes:
Resposta
Os coeficientes de reflexão e transmissão são
com
Fisicamente,