Considere o Potencial degrau:
(a) Uma partícula esta sujeita a potencial degrau de altura menor que a energia cinética da partícla. Faça o esboço da função de onda da partícula.
(b) Repita o item anterior com o potencial de altura maior do que a energia cinética da partícula.
(a) Uma partícula esta sujeita a potencial degrau de altura menor que a energia cinética da partícla. Faça o esboço da função de onda da partícula.
(b) Repita o item anterior com o potencial de altura maior do que a energia cinética da partícula.
Passo 1
Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um potencial degrau
e queremos desenhar a função de onda
em dois casos:
(a) quando a energia da partícula é maior que
,
(b) quando .
(a) quando a energia
(b) quando
Conteúdo e o que vamos precisar:
- Equação de Schrödinger independente do tempo:
- Saber que, em regiões onde
é constante, a solução é combinação de exponenciais ou senos/cossenos (ou seja, ondas planas) se , ou decaimento exponencial se . - Condições de contorno em
: e contínuas.
Passo 2
Caso (a):
.
-
Região I (
, ):
A equação viracomA solução geral éondeé a onda incidente (indo pra direita) e a refletida (voltando pra esquerda). -
Região II (
, ):
Agora a equação écomComo, é real e a solução é onda viajando pra direita: -
Esboço qualitativo:
- Para
: soma de ondas, dá um padrão de interferência entre incidente e refletida, mas ambas são oscilatórias com comprimento de onda . - Para
: uma única onda transmita, oscilando com . - Em
as amplitudes se ajustam pra ficar tudo contínuo.
- Para
Passo 3
Caso (b):
.
-
Região I (
) continua igual:
, com . -
Região II (
, mas agora ):
Definimose a equação dáComo a função de onda tem que ficar finita pra, a parte morre ( ). Então que é uma decaída exponencial (efeito tunelamento zerado pra onda incidente, só decae). -
Esboço qualitativo:
- Para
: mesma interferência incidente+refletida. - Para
: não tem oscilação, só decaimento .
- Para
Resposta
(a) Para
:
é oscilatória em toda parte. Em
aparece onda incidente
mais refletida
; em
aparece onda transmitida
.
Gráfico qualitativo:
Gráfico qualitativo:
- Até
: padrão de “batimento” pela soma de duas ondas. - Depois de
: onda única, com comprimento de onda diferente.
(b) Para
:
é oscilatória em
(incidente+refletida) e decai exponencialmente em
:
.
Gráfico qualitativo:
Gráfico qualitativo:
- Até
: idem item (a). - Depois: curva suave caindo até zero.