Considere o Potencial degrau:
(a) Uma partícula esta sujeita a potencial degrau de altura menor que a energia cinética da partícla. Faça o esboço da função de onda da partícula.
(b) Repita o item anterior com o potencial de altura maior do que a energia cinética da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos recapitular o que o exercício pede. Temos um potencial degrau
V(x)= 0, & x<0, V0, & x>=0,
e queremos desenhar a função de onda -hbar^22m,d^2psidx^2 + V(x),psi = E,psi em dois casos:
(a) quando a energia da partícula é maior que ,
(b) quando .
Conteúdo e o que vamos precisar:
  • Equação de Schrödinger independente do tempo:
  • Saber que, em regiões onde é constante, a solução é combinação de exponenciais ou senos/cossenos (ou seja, ondas planas) se , ou decaimento exponencial se .
  • Condições de contorno em : e contínuas.

Passo 2

Caso (a): -hbar^22mpsi'' = E,psi Longrightarrow psi'' + k1^2,psi=0, .
  1. Região I ( k1 = raiz2mEhbar , psiI(x) = A,e^ik1x + B,e^-ik1x, ):
    A equação vira
    -hbar^22mpsi'' + V0,psi = E,psi ;Longrightarrow; psi'' + k2^2,psi=0,
    com
    k2 = raiz2m(E-V0)hbar
    A solução geral é
    psiII(x) = C,e^ik2x
    onde é a onda incidente (indo pra direita) e a refletida (voltando pra esquerda).
  2. Região II ( , ):
    Agora a equação é
    com
    Como , é real e a solução é onda viajando pra direita:
  3. Esboço qualitativo:
    • Para : soma de ondas, dá um padrão de interferência entre incidente e refletida, mas ambas são oscilatórias com comprimento de onda .
    • Para : uma única onda transmita, oscilando com .
    • Em as amplitudes se ajustam pra ficar tudo contínuo.

Passo 3

Caso (b): kappa = raiz2m(V0-E)hbar, .
  1. Região I ( psi'' - kappa^2,psi = 0 ;Longrightarrow; psiII(x) = D,e^-kappa x + F,e^+kappa x ) continua igual:
    psiII(x) = D,e^-kappa x, , com .
  2. Região II ( , mas agora ):
    Definimos
    e a equação dá
    Como a função de onda tem que ficar finita pra , a parte morre ( ). Então
    que é uma decaída exponencial (efeito tunelamento zerado pra onda incidente, só decae).
  3. Esboço qualitativo:
    • Para : mesma interferência incidente+refletida.
    • Para : não tem oscilação, só decaimento .

Resposta

(a) Para : é oscilatória em toda parte. Em aparece onda incidente mais refletida ; em aparece onda transmitida .
Gráfico qualitativo:
  • Até : padrão de “batimento” pela soma de duas ondas.
  • Depois de : onda única, com comprimento de onda diferente.
(b) Para : é oscilatória em (incidente+refletida) e decai exponencialmente em :
.
Gráfico qualitativo:
  • Até : idem item (a).
  • Depois: curva suave caindo até zero.

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