Considere o potencial degrau
V(x)= 0 & se x <= 0( região I) V0 & se x>0( região II ) ãã
em que V0 é uma constante positiva.
(ii) Para E=2 V0, calcule o coeficiente de reflexão R e o coeficiente de transmissão T. Mostre que R+T=1.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado fala sobre um potencial degrau, que é tipo uma barreira que uma partícula encontra. Tem duas regiões:
  • Região I ( x <= 0): Potencial V(x) = 0
  • Região II ( x > 0): Potencial V(x) = V0, onde V0 é uma constante positiva
A gente precisa calcular os coeficientes de reflexão ( R) e transmissão ( T) para uma partícula com energia E = 2V0, e mostrar que R + T = 1. Para isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica sobre como partículas se comportam ao encontrar um potencial.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que quando uma partícula encontra uma barreira de potencial, ela pode ser refletida ou transmitida. Os coeficientes R e T representam a probabilidade da partícula sofrer cada um desses processos.
Para calcular R e T, precisamos das funções de onda nas duas regiões. A função de onda descreve o comportamento quântico da partícula.

Passo 3

A energia total da partícula é E = 2V0. Na Região I ( x <= 0), o potencial é 0, então a energia cinética é toda a energia da partícula. Na Região II ( x > 0), o potencial é V0, então a energia cinética é E - V0 = 2V0 - V0 = V0.

Passo 4

Vamos definir os números de onda nas duas regiões:
  • Na Regiões I: k1 = raiz2mEhbar^2
  • Na Regiões II: k2 = raiz2m(E - V0)hbar^2 = raiz2mV0hbar^2
Aqui, m é a massa da partícula e hbar é a constante de Planck reduzida.

Passo 5

Os coeficientes de reflexão e transmissão são dados por:
R = | k1 - k2k1 + k2 |^2
T = 4k1k2(k1 + k2)^2
Essas fórmulas vêm da solução das equações de onda nas duas regiões e das condições de contorno.

Passo 6

Substituindo E = 2V0 e E - V0 = V0, temos:
k1 = raiz2m cdot 2V0hbar^2 = raiz4m V0hbar^2 = 2 raizm V0hbar^2
k2 = raiz2m V0hbar^2

Passo 7

Agora, vamos calcular R:
R = | 2 raizm V0hbar^2 - raiz2m V0hbar^22 raizm V0hbar^2 + raiz2m V0hbar^2 |^2
Simplificando os termos, podemos fatorar raizm V0hbar^2:
R = | 2 - raiz22 + raiz2 |^2
Calculando o valor numérico:
R = ( 2 - raiz22 + raiz2 )^2 approx ( 0.58583.4142 )^2 approx 0.0295 (aproximadamente 2.95%)

Passo 8

Agora, vamos calcular T usando a fórmula:
T = 4 cdot 2 raizm V0hbar^2 cdot raiz2m V0hbar^2(2 raizm V0hbar^2 + raiz2m V0hbar^2)^2
Simplificando os termos:
T = 8 raiz2 ( m V0hbar^2 )(2 + raiz2)^2 ( m V0hbar^2 ) = 8 raiz2(2 + raiz2)^2
Calculando o valor numérico:
T approx 11.313711.6569 approx 0.9714 (aproximadamente 97.14%)

Passo 9

Por fim, vamos verificar que R + T = 1:
R + T approx 0.0295 + 0.9714 = 1.0009 approx 1
Essa pequena diferença é devido aos arredondamentos nos cálculos.

Resposta

Os coeficientes de reflexão e transmissão são aproximadamente R = 2.95% e T = 97.14%, respectivamente, e de fato R + T = 1.

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