Um elétron tem energia cinética de
. O elétron incide sobre uma barreira retangular de altura 20,0 eV e largura de
. Se o elétron absorveu toda a energia de um fóton de luz verde, com comprimento de onda de 546 nm , no instante em que alcançou a barreira, por qual fator aumentaria a probabilidade de o elétron tunelar através da barreira?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um eletrão que tem uma energia cinética de 12,0 eV e está batendo numa barreira retangular que tem uma altura de 20,0 eV e uma largura de 1,00 nm. A parada é que, quando o eletrão chega na barreira, ele absorve toda a energia de um fóton de luz verde com um comprimento de onda de 546 nm. A pergunta é: com essa absorção, em quanto aumentaria a probabilidade do eletrão conseguir “tunelar” (ou seja, passar) pela barreira? Vamos precisar usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre tunelamento quântico, e cálculos de energia de fótons.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir quanta energia o eletrão ganhou ao absorver o fóton de luz verde. A energia de um fóton é dada pela fórmula:
Onde:
- $ h $ é a constante de Planck ($ 4,1357 \times 10^{-15} $ eV·s),
- $ c $ é a velocidade da luz ($ 3,00 \times 10^{8} $ m/s),
- $ \lambda $ é o comprimento de onda (546 nm = $ 546 \times 10^{-9} $ m).
Calculando:
Então, o eletrão passa a ter uma energia cinética de:
Passo 3
Agora, vamos entender como essa energia extra afeta a probabilidade de tunelamento. A probabilidade $ T $ de um eletrão tunelar através de uma barreira é dada por:
Onde:
- $ \kappa = \sqrt{\frac{2m(U - E)}{\hbar^2}} $,
- $ m $ é a massa do eletrão ($ 9,11 \times 10^{-31} $ kg),
- $ U $ é a altura da barreira (20,0 eV),
- $ E $ é a energia cinética do eletrão antes de absorver o fóton,
- $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida ($ 1,0546 \times 10^{-34} $ J·s),
- $ L $ é a largura da barreira (1,00 nm = $ 1,00 \times 10^{-9} $ m).
Primeiro, vamos calcular $ \kappa $ antes e depois da absorção do fóton.
Antes da absorção ($ E = 12,0 $ eV):
Convertendo para joules: $ 8,0 , eV \times 1,602 \times 10^{-19} , J/eV = 1,2816 \times 10^{-18} , J $
Depois da absorção ($ E’ = 14,27 $ eV):
Convertendo para joules: $ 5,73 , eV \times 1,602 \times 10^{-19} , J/eV = 9,167 \times 10^{-19} , J $
Passo 4
Agora, vamos calcular como esses valores de $ \kappa $ e $ \kappa’ $ afetam a probabilidade de tunelamento. A razão entre as probabilidades após e antes da absorção é:
Substituindo os valores:
Calculando $ e^{4,46} $:
Resposta
A probabilidade de o eletrão tunelar através da barreira aumenta aproximadamente em um fator de 86.