Em um dispositivo semicondutor, uma camada de óxido forma uma barreira com 0.5 nm de largura e 10 V de altura entre os dois fios condutores. Elétrons chegam a barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V , partindo aproximadamente do repouso.
(ii) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item (i)?
(ii) Qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração dos elétrons incidentes que consegue atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item (i)?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um dispositivo semicondutor com uma camada de óxido que forma uma barreira de 0,5 nm de largura e 10 V de altura entre dois fios condutores. Os elétrons chegam nessa barreira depois de serem acelerados por uma tensão de 5 V, começando quase do repouso. A pergunta é: qual deve ser a tensão de aceleração para que a fração de elétrons que conseguem atravessar a barreira por tunelamento seja o dobro do valor encontrado no item (i)?
Aqui, o conteúdo principal envolve mecânica quântica e tunelamento quântico. Vamos precisar entender como a probabilidade de tunelamento depende da energia dos elétrons e das características da barreira.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é tunelamento quântico. Em mecânica quântica, partículas como elétrons têm uma probabilidade de passar por barreiras de potencial, mesmo que sua energia seja menor que a altura da barreira. A probabilidade de tunelamento $ T $ pode ser aproximadamente dada por:
onde $ \gamma = \sqrt{\frac{2 m (V - E)}{\hbar^2}} $, $ m $ é a massa do elétron, $ V $ é a altura da barreira, $ E $ é a energia do elétron, $ d $ é a largura da barreira e $ \hbar $ é a constante de Planck reduzida.
Passo 3
No item (i), que não foi mostrado aqui, provavelmente calcularam a probabilidade $ T_1 $ com uma tensão de aceleração de 5 V. Nosso objetivo no item (ii) é encontrar uma nova tensão de aceleração $ V’ $ de modo que a nova probabilidade $ T_2 $ seja o dobro de $ T_1 $:
Passo 4
Sabemos que a energia cinética dos elétrons após serem acelerados por uma tensão $ V $ é:
onde $ e $ é a carga elementar (aproximadamente $ 1,6 \times 10^{-19} $ C). Portanto, a energia do elétron aumenta com a tensão de aceleração.
Passo 5
Substituindo $ E $ na expressão de $ \gamma $:
Aqui, $ V_{barra} = 10 $ V e $ V_{aceleração} $ é a tensão que queremos encontrar.
Passo 6
Para que $ T_2 = 2 T_1 $, temos:
Tomando o logaritmo natural de ambos os lados:
Passo 7
Substituindo $ \gamma $ em termos de $ V_{aceleração} $:
Onde $ V’_a $ é a nova tensão de aceleração e $ V_a = 5 $ V.
Passo 8
Agora, isolamos $ V’_a $ na equação:
Elevando ambos os lados ao quadrado para eliminar a raiz:
Passo 9
Expandindo o lado direito:
Simplificando:
Passo 10
Isolando $ V’_a $:
Passo 11
Finalmente, substituímos os valores conhecidos:
- $ V_{barra} = 10 $ V
- $ V_a = 5 $ V
- $ d = 0,5 \times 10^{-9} $ m
- $ m = 9,11 \times 10^{-31} $ kg (massa do elétron)
- $ \hbar = 1,054 \times 10^{-34} $ J·s
- $ e = 1,6 \times 10^{-19} $ C
Calculando os termos:
Após os cálculos (simplificados aqui):
Para duplicar a probabilidade, a tensão de aceleração precisa ser ligeiramente menor que 5 V.
Resposta
A tensão de aceleração necessária para que a fração de elétrons que conseguem tunelar através da barreira seja o dobro do valor inicial é aproximadamente 4,8 V.