Considere o potencial degrau
em que
é uma constante positiva.
(i) Sendo
a energia de cada partícula num feixe incidindo inicialmente de
e que se move em direção a
, calcule o coeficiente de reflexão
. Nesse caso qual é o comportamento da função de onda de uma partícula na região onde
? É possível observar partículas nesta região em algum momento?
(i) Sendo
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem um potencial degrau definido por:
Aqui, $ V_{0} $ é uma constante positiva. A energia da partícula é $ E = \frac{V_{0}}{2} $, ou seja, a energia é metade do valor de $ V_{0} $. A partícula está vindo de $ x < 0 $ (região I) em direção a $ x > 0 $ (região II). Precisamos calcular o coeficiente de reflexão $ R $ e entender o que acontece com a função de onda na região II, além de verificar se podemos ver partículas nessa região.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especialmente sobre como partículas se comportam ao encontrar barreiras de potencial.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula encontra uma barreira de potencial, algumas partes da sua função de onda podem ser refletidas e outras transmitidas. O coeficiente de reflexão $ R $ nos diz a proporção da onda que é refletida.
Como a energia $ E = \frac{V_{0}}{2} $ é menor que $ V_{0} $, estamos no caso de uma barreira de potencial maior que a energia da partícula. Nesse cenário, esperamos que a partícula seja totalmente refletida, mas vamos confirmar isso calculando $ R $.
Passo 3
Para calcular $ R $, usamos a relação entre os coeficientes de onda nas regiões I e II. A função de onda na região I (onde $ x \leq 0 $) pode ser escrita como:
E na região II (onde $ x > 0 $):
Aqui, $ k $ é a constante de onda na região I e $ \kappa $ é uma constante relacionada à decaimento exponencial na região II. Para $ E < V_{0} $, $ \kappa $ é real e positiva, indicando que a função de onda decai exponencialmente na região II.
As relações são dadas por:
Como não há transmissão real de partículas para $ E < V_0 $, esperamos que $ T = 0 $, ou seja, nenhuma parte da onda é transmitida.
Passo 4
Aplicando $ T = 0 $ na função de onda da região II:
Isso significa que a função de onda na região II é zero, indicando que não há transmissão da partícula para $ x > 0 $. Logo, todo o fluxo de probabilidade é refletido de volta para a região I.
Então, o coeficiente de reflexão $ R $ é 1, já que toda a onda é refletida.
Passo 5
Agora, sobre o comportamento da função de onda na região onde $ x > 0 $:
Como $ \psi_{II}(x) = 0
T = 0 $) confirma que não há partículas observáveis em $ x > 0 $ quando $ E < V_0 $.
Resposta
O coeficiente de reflexão $ R $ é igual a 1, indicando reflexão total da partícula. Na região onde $ x > 0 $, a função de onda é zero, e não é possível observar partículas nessa região quando $ E = \frac{V_{0}}{2} $.