Considere o potencial:
V(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ V_{0}, & 0 \leq x \leq a \\\\ 0, & x>a\end{cases}
  1. Resolva a equação de Schrödinger nas três regiões para:
  • E>V_{0}
  • E<V_{0}
  1. Para o caso E<V_{0}, mostre que a solução dentro da barreira é exponencial.
  2. Aplique as condições de continuidade da função de onda e sua derivada em x=0 e x=a.
  3. Obtenha a expressão para o coeficiente de transmissão T.
  4. Mostre que, para E<V_{0}, o coeficiente de transmissão é não nulo.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede, sem resolver ainda.
  • Potencial:
V(x)= \begin{cases}0, & x<0, \\[4pt] V_{0}, & 0 \leq x \leq a, \\[4pt] 0, & x>a. \end{cases}
  • Quantidades fixas no problema: V_{0}>0, a>0, massa da partícula m, constante de Planck reduzida \hbar.
  • O enunciado pede:
    1. Resolver a equação de Schrödinger nas três regiões para os casos E>V_{0} e E<V_{0}.
    2. Para E<V_{0}, mostrar que a solução dentro da barreira é exponencial.
    3. Aplicar as condições de continuidade de \psi e \psi' em x=0 e x=a.
    4. Obter a expressão do coeficiente de transmissão T.
    5. Mostrar que, para E<V_{0}, T é não nulo (túnel quântico).
  • Informação importante que vou usar (sem ainda desenvolver): equação independente do tempo unidimensional:
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi=E\psi.]

Passo 2

Resolver a equação de Schrödinger nas três regiões — caso geral e definições de números de onda.
A equação em cada região reduz-se a uma equação linear de segunda ordem com coeficiente constante. Introduzo as quantidades:
k\equiv\sqrt{\frac{2mE}{\hbar^{2}}},\qquad q\equiv\sqrt{\frac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}}.
Observe que k é sempre real para E>0. O sinal de q depende do sinal de E-V_{0}.
Região I ( x<0, V=0): solução geral (onda incidente da esquerda mais reflexa):
\psi_{I}(x)=A\,e^{ikx}+B\,e^{-ikx}.
Interpretação: A\,e^{ikx} é a onda incidente movendo-se para a direita; B\,e^{-ikx} é a onda refletida.
Região III ( x>a, V=0): só há onda transmitida para a direita (pressuposto de partícula incidente da esquerda):
\psi_{III}(x)=F\,e^{ikx}.
Aqui F é a amplitude de transmissão.
Região II ( 0\le x\le a, V=V_{0}) — deve distinguir dois casos.
Caso A: E>V_{0} (energia acima da barreira). Então E-V_{0}>0 e q é real. Solução oscilatória:
\psi_{II}(x)=C\,e^{iqx}+D\,e^{-iqx}.
Essas são ondas viajantes dentro da região de potencial reduzido.
Caso B: E<V_{0} (energia abaixo da barreira). Então E-V_{0}<0 e q é puramente imaginário. Escrevo
q=i\kappa,\qquad \kappa\equiv\sqrt{\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}>0.
Substituindo q=i\kappa em \psi_{II} e reagrupando exponenciais, obtenho a forma exponencial:
\psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x}.
(Isto responde já parcialmente o item 2: a solução dentro da barreira é combinação de exponenciais crescentes e decrescentes.)

Passo 3

Explicar didaticamente por que, para E<V_{0}, a solução dentro da barreira é exponencial (resposta detalhada ao item 2).
  • A equação em região II é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+V_{0}\psi(x)=E\psi(x),
que reescreve
\psi''(x)=\frac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}\psi(x).
  • Como V_{0}-E>0 neste caso, o segundo membro é positivo vezes \psi. A equação diferencial é do tipo \psi''=\kappa^{2}\psi com \kappa>0. As soluções da equação \psi''=\kappa^{2}\psi são e^{\kappa x} e e^{-\kappa x}, ou combinação linear delas.
  • Portanto \psi_{II}(x)=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x}: função exponencial crescente e decrescente — evanescentes dentro da barreira. Fisicamente a parte crescente é descartada em regiões semi-infinitas, mas aqui a região tem largura finita, então ambas componentes podem estar presentes e são determinadas pelas condições de contorno nas duas fronteiras.

Passo 4

Aplicar as condições de continuidade em x=0 e x=a (item 3) e montar o sistema de equações para as amplitudes.
Condição física: \psi e \psi' são contínuas em x=0 e em x=a.
Tomando amplitude de entrada unitaria ( A=1) para normalizar a onda incidente, escrevo:
Em x=0:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0)\quad\Rightarrow\quad 1 + r = C + D,
\psi'_{I}(0)=\psi'_{II}(0)\quad\Rightarrow\quad ik(1 - r) = iq(C - D),
onde defini r\equiv B (coeficiente de reflexão em amplitude).
Em x=a:
\psi_{II}(a)=\psi_{III}(a)\quad\Rightarrow\quad C e^{iqa}+D e^{-iqa}=t e^{ika},
\psi'_{II}(a)=\psi'_{III}(a)\quad\Rightarrow\quad iq(C e^{iqa}-D e^{-iqa})=ik\,t e^{ika},
onde defini t\equiv F (coeficiente de transmissão em amplitude), lembrando que o fator de fase e^{ika} aparece porque igualamos nos pontos x=a.
Observação (caso E<V_{0}): basta substituir q=i\kappa e e^{i q a}=e^{-\kappa a}, e^{-i q a}=e^{\kappa a}, e as equações acima viram equações com exponenciais reais.

Passo 5

Resolver o sistema para obter a amplitude de transmissão t e, em seguida, o coeficiente de transmissão T. Vou apresentar os passos algébricos essenciais que conduzem à forma fechada padrão.
  1. A partir das condições em x=0, resolve-se C e D em termos de r:
C=\tfrac{1}{2}\Big[(1+r)+\frac{k}{q}(1-r)\Big],\qquad D=\tfrac{1}{2}\Big[(1+r)-\frac{k}{q}(1-r)\Big].
(Isto vem de somar e subtrair as duas equações em x=0.)
  1. Usar as condições em x=a para eliminar C e D e resolver para t. Após eliminar r,C,D (álgebra direta, mas cuidadosa), obtém-se a amplitude de transmissão:
t=\frac{2kq\,e^{-ika}}{2kq\cos(qa)-i(k^{2}+q^{2})\sin(qa)}.
Esta é uma forma conhecida e compacta para o caso em que q pode ser real ou imaginário; vale em geral se interpretarmos q corretamente.
  1. O coeficiente de transmissão (fluxo transmitido dividido pelo fluxo incidente) é dado por
T=\left|\frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}\right|=\left|\frac{k}{k}\right||t|^{2}=|t|^{2},
porque os números de onda nas regiões I e III são iguais ( k) e tomei amplitude incidente unitária. Assim
T=|t|^{2}=\frac{4k^{2}q^{2}}{4k^{2}q^{2}\cos^{2}(qa)+(k^{2}+q^{2})^{2}\sin^{2}(qa)}.
Fatorando e rearranjando essa expressão dá a forma mais habitual:
T=\frac{1}{1+\dfrac{(k^{2}-q^{2})^{2}}{4k^{2}q^{2}}\sin^{2}(qa)}.
Agora eu uso que k^{2}-q^{2}=\dfrac{2mV_{0}}{\hbar^{2}} e k^{2}q^{2}=(\tfrac{2m}{\hbar^{2}})^{2}E(E-V_{0}) para expressar em termos de E e V_{0}. Isso leva à forma
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_{0}^{2}\sin^{2}(qa)}{4E(E-V_{0})}},
válida para E>V_{0} (aqui q é real e E-V_{0}>0).

Passo 6

Obter a expressão de T para E<V_{0} e mostrar que é não nula (itens 4 e 5).
  • Para E<V_{0} substituo q=i\kappa com \kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar. Uso \sin(i\kappa a)=i\operatorname{sinh}(\kappa a) e \sin^{2}(qa)=-\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a). Ao substituir na forma anterior e simplificar (o sinal menos se combina com E-V_{0}<0 no denominador), obtenho:
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_{0}-E)}}.
  • Note que todos os termos no denominador são reais e positivos: V_{0}^{2}>0, \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)\ge 0, E>0 (assumido físico) e V_{0}-E>0. Assim o denominador é maior que 1 e finito, logo 0<T<1. Em particular T é estritamente positivo: T>0. Isto demonstra explicitamente o efeito de tunelamento quântico — mesmo E<V_{0}, há probabilidade finita de transmissão através de uma barreira de largura finita.
  • Comentário físico curto: quando a cresce muito (barreira muito larga) a \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) cresce exponencialmente e T decai exponencialmente para zero; mas para a finito T é não nulo.

Resposta

  1. Soluções nas três regiões (incidente unitário A=1):
  • Para E>V_{0} ( q=\sqrt{2m(E-V_{0})/\hbar^{2}} real):
\psi_{I}(x)=e^{ikx}+r\,e^{-ikx},\qquad \psi_{II}(x)=C\,e^{iqx}+D\,e^{-iqx},\qquad \psi_{III}(x)=t\,e^{ikx}.
  • Para E<V_{0} ( \kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)/\hbar^{2}}):
\psi_{I}(x)=e^{ikx}+r\,e^{-ikx},\qquad \psi_{II}(x)=C\,e^{\kappa x}+D\,e^{-\kappa x},\qquad \psi_{III}(x)=t\,e^{ikx}.
  1. Para E<V_{0} a equação em II leva a \psi''=\kappa^{2}\psi, cujas soluções são e^{\pm\kappa x}. Portanto a solução dentro da barreira é combinação linear exponencial: \psi_{II}=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x}.
  2. Condições de continuidade em x=0 e x=a:
1+r=C+D,\qquad ik(1-r)=iq(C-D),
C e^{iqa}+D e^{-iqa}=t e^{ika},\qquad iq(C e^{iqa}-D e^{-iqa})=ik\,t e^{ika},
com a substituição q=i\kappa quando E<V_{0}.
  1. Coeficiente de transmissão T:
  • Para E>V_{0}:
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_{0}^{2}\sin^{2}(qa)}{4E(E-V_{0})}}, \qquad q=\sqrt{\dfrac{2m(E-V_{0})}{\hbar^{2}}}.
  • Para E<V_{0}:
T=\frac{1}{1+\dfrac{V_{0}^{2}\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)}{4E(V_{0}-E)}}, \qquad \kappa=\sqrt{\dfrac{2m(V_{0}-E)}{\hbar^{2}}}.
  1. Para E<V_{0} a expressão acima mostra que o denominador é finito e maior que 1, logo 0<T<1. Portanto T é estritamente positivo (túnel quântico): existe transmissão não nula mesmo com E<V_{0}.

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