Como V_{0}-E>0 neste caso, o segundo membro é positivo vezes \psi. A equação diferencial é do tipo \psi''=\kappa^{2}\psi com \kappa>0. As soluções da equação \psi''=\kappa^{2}\psi são e^{\kappa x} e e^{-\kappa x}, ou combinação linear delas.
Portanto \psi_{II}(x)=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x}: função exponencial crescente e decrescente — evanescentes dentro da barreira. Fisicamente a parte crescente é descartada em regiões semi-infinitas, mas aqui a região tem largura finita, então ambas componentes podem estar presentes e são determinadas pelas condições de contorno nas duas fronteiras.
Passo 4
Aplicar as condições de continuidade em x=0 e x=a (item 3) e montar o sistema de equações para as amplitudes.
Condição física: \psi e \psi' são contínuas em x=0 e em x=a.
Tomando amplitude de entrada unitaria (A=1) para normalizar a onda incidente, escrevo:
Em x=0:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0)\quad\Rightarrow\quad 1 + r = C + D,
onde defini t\equiv F (coeficiente de transmissão em amplitude), lembrando que o fator de fase e^{ika} aparece porque igualamos nos pontos x=a.
Observação (caso E<V_{0}): basta substituir q=i\kappa e e^{i q a}=e^{-\kappa a}, e^{-i q a}=e^{\kappa a}, e as equações acima viram equações com exponenciais reais.
Passo 5
Resolver o sistema para obter a amplitude de transmissão t e, em seguida, o coeficiente de transmissão T. Vou apresentar os passos algébricos essenciais que conduzem à forma fechada padrão.
A partir das condições em x=0, resolve-se C e D em termos de r:
(Isto vem de somar e subtrair as duas equações em x=0.)
Usar as condições em x=a para eliminar C e D e resolver para t. Após eliminar r,C,D (álgebra direta, mas cuidadosa), obtém-se a amplitude de transmissão:
Agora eu uso que k^{2}-q^{2}=\dfrac{2mV_{0}}{\hbar^{2}} e k^{2}q^{2}=(\tfrac{2m}{\hbar^{2}})^{2}E(E-V_{0}) para expressar em termos de E e V_{0}. Isso leva à forma
Obter a expressão de T para E<V_{0} e mostrar que é não nula (itens 4 e 5).
Para E<V_{0} substituo q=i\kappa com \kappa=\sqrt{2m(V_{0}-E)}/\hbar. Uso \sin(i\kappa a)=i\operatorname{sinh}(\kappa a) e \sin^{2}(qa)=-\operatorname{sinh}^{2}(\kappa a). Ao substituir na forma anterior e simplificar (o sinal menos se combina com E-V_{0}<0 no denominador), obtenho:
Note que todos os termos no denominador são reais e positivos: V_{0}^{2}>0, \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a)\ge 0, E>0 (assumido físico) e V_{0}-E>0. Assim o denominador é maior que 1 e finito, logo 0<T<1. Em particular T é estritamente positivo: T>0. Isto demonstra explicitamente o efeito de tunelamento quântico — mesmo E<V_{0}, há probabilidade finita de transmissão através de uma barreira de largura finita.
Comentário físico curto: quando a cresce muito (barreira muito larga) a \operatorname{sinh}^{2}(\kappa a) cresce exponencialmente e T decai exponencialmente para zero; mas para a finito T é não nulo.
Resposta
Soluções nas três regiões (incidente unitário A=1):
Para E>V_{0} (q=\sqrt{2m(E-V_{0})/\hbar^{2}} real):
Para E<V_{0} a equação em II leva a \psi''=\kappa^{2}\psi, cujas soluções são e^{\pm\kappa x}. Portanto a solução dentro da barreira é combinação linear exponencial: \psi_{II}=C e^{\kappa x}+D e^{-\kappa x}.
Condições de continuidade em x=0 e x=a:
1+r=C+D,\qquad ik(1-r)=iq(C-D),
C e^{iqa}+D e^{-iqa}=t e^{ika},\qquad iq(C e^{iqa}-D e^{-iqa})=ik\,t e^{ika},
Para E<V_{0} a expressão acima mostra que o denominador é finito e maior que 1, logo 0<T<1. Portanto T é estritamente positivo (túnel quântico): existe transmissão não nula mesmo com E<V_{0}.