Considere uma partícula de massa m\) sujeita ao potencial: \[V(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ V_{0}, & x \geq 0\end{cases}
\operatorname{com} V_{0}>0\]. 1. Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para o caso \(E>V_{0} e obtenha as soluções gerais em cada região.
2. Imponha as condições de contorno em x=0 e determine as relações entre os coeficientes.
3. Calcule os coeficientes de reflexão R e transmissão T.
4. Mostre que R+T=1.
5. Discuta o limite clássico E \gg V_{0}.

Passo 1

O enunciado dá um potencial de degrau:
V(x)= \begin{cases}0, & x<0, \\\ V_{0}, & x\ge 0,\end{cases}
com V_{0}>0. Considera-se a partícula com energia E>V_{0} e pede:
  1. Resolver a equação de Schrödinger independente do tempo e obter as soluções gerais em cada região.
  2. Impor condições de contorno em x=0 e determinar relações entre os coeficientes das soluções.
  3. Calcular os coeficientes de reflexão R e transmissão T.
  4. Mostrar que R+T=1.
  5. Discutir o limite clássico E\gg V_{0}.
As informações relevantes que temos: potencial em duas regiões (esquerda: V=0; direita: V=V_{0}), energia E>V_{0} (portanto ambas as regiões permitem modos propagantes), massa m e constante de Planck reduzida \hbar. A solução exigirá escrever a equação de Schrödinger em cada região, aplicar condições de continuidade em x=0 e calcular fluxos de probabilidade para obter R e T.

Passo 2

Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo e explicar o que significa:
A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{d^{2}\psi}{dx^{2}}+V(x)\psi(x)=E\psi(x).
Aqui \psi(x) é a função de onda estacionária (complexa), m é a massa da partícula, \hbar é a constante de Planck reduzida, V(x) é o potencial e E é a energia (autovalor). Para cada trecho onde V(x) é constante, a equação reduz-se a uma equação diferencial linear com soluções exponenciais complexas (ondas planas).
Definimos os números de onda nas duas regiões (esses números de onda controlam o comprimento de onda das ondas):
k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar},\qquad k_{2}=\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar},
onde k_{1} corresponde à região x<0 ( V=0) e k_{2} à região x\ge 0 ( V=V_{0}). Como E>V_{0}, tanto k_{1} quanto k_{2} são reais e positivos, logo temos ondas propagantes em ambas as regiões.

Passo 3

Soluções gerais em cada região (explicar escolha física das ondas):
Para x<0 (região I, V=0) a equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=E\psi(x),
cuja solução geral é combinação linear de exponenciais complexas (ondas planas). Escrevemos a forma conveniente para problemas de espalhamento:
\psi_{I}(x)=A\,e^{i k_{1} x}+B\,e^{-i k_{1} x},
onde A é a amplitude da onda incidente que vem da esquerda (movendo-se para a direita) e B é a amplitude da onda refletida (movendo-se para a esquerda). A interpretação física: e^{i k_{1} x} tem corrente positiva (direção +x), e^{-i k_{1} x} tem corrente negativa.
Para x\ge 0 (região II, V=V_{0}) a equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)+V_{0}\psi(x)=E\psi(x)
ou seja -\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=(E-V_{0})\psi(x), solução geral
\psi_{II}(x)=C\,e^{i k_{2} x}+D\,e^{-i k_{2} x}.
Aqui C é a amplitude da onda que avança para a direita em x\ge0 e D a de uma onda que vem do infinito x\to+\infty.
No problema físico padrão de uma partícula incidindo do lado esquerdo não há onda incidente vinda da direita (nada chega do +\infty), portanto tomamos a condição física
D=0.
Assim a solução física em x\ge0 é
\psi_{II}(x)=C\,e^{i k_{2} x}.

Passo 4

Impor as condições de contorno em [x=0) e resolver as equações lineares:
As condições de contorno para potencial finito e contínuo são a continuidade de \psi(x) e de sua derivada \psi'(x) em x=0:
\psi_{I}(0)=\psi_{II}(0),\qquad \psi_{I}'(0)=\psi_{II}'(0).
Substituindo as soluções (com D=0) obtemos:
  • continuidade da função de onda:
A+B=C.
  • continuidade da derivada (derivando \psi_{I} e \psi_{II}):
i k_{1}A - i k_{1}B = i k_{2}C.
Simplificando a segunda equação (dividindo por i):
k_{1}(A-B)=k_{2}C.
Agora resolvemos para B e C em função de A (é comum escolher A como amplitude da onda incidente):
a partir do sistema
\begin{cases} A+B=C,\\[4pt] k_{1}(A-B)=k_{2}C, \end{cases}
podemos eliminar C\]. Uma forma direta é resolver para \(C da primeira: C=A+B, inserir na segunda:
k_{1}(A-B)=k_{2}(A+B).
Rearranjando para B:
k_{1}A - k_{1}B = k_{2}A + k_{2}B
\Rightarrow (k_{1}-k_{2})A = (k_{1}+k_{2})B
\Rightarrow \frac{B}{A} = \frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}.
Da primeira equação C=A+B segue
\frac{C}{A}=1+\frac{B}{A}=1+\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.
Portanto as amplitudes relativas são
\frac{B}{A}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}},\qquad \frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.]

Passo 5

Definir os coeficientes de reflexão e transmissão (justificando o fator de corrente):
Os coeficientes probabilísticos R e T medem frações da corrente de probabilidade refletida e transmitida, respectivamente, em relação à corrente incidente. O fluxo (corrente) de probabilidade em uma dimensão para uma função de onda \psi é
j(x)=\frac{\hbar}{m}\Im\!\big(\psi^{*}\psi'\big).
Para uma onda plana \psi(x)=\mathcal{A}e^{i k x} tem-se
j=\frac{\hbar k}{m}|\mathcal{A}|^{2}.
No nosso caso:
  • corrente incidente (onda A e^{i k_{1}x}) tem
j_{\text{inc}}=\frac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}.
  • corrente refletida (onda B e^{-i k_{1}x}) tem direção negativa, módulo
j_{\text{ref}}=-\frac{\hbar k_{1}}{m}|B|^{2}.
  • corrente transmitida (onda C e^{i k_{2}x}) tem
j_{\text{trans}}=\frac{\hbar k_{2}}{m}|C|^{2}.
Logo definimos os coeficientes:
R=\frac{|j_{\text{ref}}|}{j_{\text{inc}}}=\frac{\frac{\hbar k_{1}}{m}|B|^{2}}{\frac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}}=\left|\frac{B}{A}\right|^{2},
T=\frac{j_{\text{trans}}}{j_{\text{inc}}}=\frac{\frac{\hbar k_{2}}{m}|C|^{2}}{\frac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}}=\frac{k_{2}}{k_{1}}\left|\frac{C}{A}\right|^{2}.
Note que o fator \dfrac{k_{2}}{k_{1}} aparece em T porque as velocidades de fase/grupo (e portanto os fluxos) nas duas regiões são proporcionais a k/\!m.

Passo 6

Calcular R e T explicitamente usando as amplitudes encontradas:
Usando \dfrac{B}{A}=\dfrac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}} temos
R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2}.
Usando \dfrac{C}{A}=\dfrac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}} temos
T=\frac{k_{2}}{k_{1}}\left(\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2} =\frac{k_{2}}{k_{1}}\frac{4k_{1}^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}} =\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
Portanto os coeficientes probabilísticos são
R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2},\qquad T=\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.

Passo 7

Mostrar que R+T=1 (verificação algébrica):
Calcule R+T:
R+T=\frac{(k_{1}-k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}+\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}} =\frac{(k_{1}-k_{2})^{2}+4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
Expanda o numerador:
(k_{1}-k_{2})^{2}+4k_{1}k_{2}=k_{1}^{2}-2k_{1}k_{2}+k_{2}^{2}+4k_{1}k_{2}=k_{1}^{2}+2k_{1}k_{2}+k_{2}^{2}=(k_{1}+k_{2})^{2}.
Logo
R+T=\frac{(k_{1}+k_{2})^{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}=1.
Isto representa conservação da corrente/probabilidade (sem absorção).

Passo 8

Discutir o limite clássico E\gg V_{0} (intuição e aproximações):
Quando E\gg V_{0} então k_{1} e k_{2} são quase iguais. Escrevendo k_{2}=k_{1}\sqrt{1-\dfrac{V_{0}}{E}} e expandindo para pequeno parâmetro \dfrac{V_{0}}{E}\ll1:
k_{2}\approx k_{1}\left(1-\frac{V_{0}}{2E}\right).
A amplitude de reflexão (razão) fica aproximadamente
\frac{B}{A}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\approx\frac{k_{1}-k_{1}(1-\frac{V_{0}}{2E})}{2k_{1}}=\frac{V_{0}}{4E},
portanto a probabilidade de reflexão é pequena:
R\approx\left(\frac{V_{0}}{4E}\right)^{2}=\frac{V_{0}^{2}}{16E^{2}}\ll1.
A transmissão aproxima-se de 1:
T=1-R\approx 1-\frac{V_{0}^{2}}{16E^{2}}\approx 1.
Interpretação física: no limite clássico E\gg V_{0} a partícula tem energia muito maior que o degrau, então quase toda a onda é transmitida — o pequeno R residual é efeito puramente quântico de interferência na frente do degrau. No limite E\to\infty recupera-se R\to0 e T\to1, consistente com a intuição clássica de que a partícula não é refletida por um pequeno degrau energético.

Resposta

  1. Região x<0: \displaystyle \psi_{I}(x)=A\,e^{i k_{1} x}+B\,e^{-i k_{1} x}, com \displaystyle k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
    Região x\ge 0: \displaystyle \psi_{II}(x)=C\,e^{i k_{2} x} (assumindo nenhuma onda incidente de +\infty), com \displaystyle k_{2}=\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}.
  2. Condições em x=0 dão as relações
    \displaystyle \frac{B}{A}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}},\qquad \frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.
  3. Coeficientes de reflexão e transmissão:
    \displaystyle R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2},\qquad T=\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
  4. Verifica-se algébrica e diretamente que \displaystyle R+T=1.
  5. Limite clássico E\gg V_{0}: tem k_{2}\approx k_{1}(1-\tfrac{V_{0}}{2E}), logo R\approx \dfrac{V_{0}^{2}}{16E^{2}}\ll1 e T\approx 1-R\approx 1. Ou seja, reflexão quântica é muito pequena e a transmissão tende a 1.

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