Considere uma partícula de massa m\) sujeita ao potencial:
\[V(x)= \begin{cases}0, & x<0 \\\ V_{0}, & x \geq 0\end{cases}
\operatorname{com} V_{0}>0\].
1. Resolva a equação de Schrödinger independente do tempo para o caso \(E>V_{0} e obtenha as soluções gerais em cada região.
2. Imponha as condições de contorno em x=0 e determine as relações entre os coeficientes.
3. Calcule os coeficientes de reflexão R e transmissão T.
4. Mostre que R+T=1.
5. Discuta o limite clássico E \gg V_{0}.
com V_{0}>0. Considera-se a partícula com energia E>V_{0} e pede:
Resolver a equação de Schrödinger independente do tempo e obter as soluções gerais em cada região.
Impor condições de contorno em x=0 e determinar relações entre os coeficientes das soluções.
Calcular os coeficientes de reflexão R e transmissão T.
Mostrar que R+T=1.
Discutir o limite clássico E\gg V_{0}.
As informações relevantes que temos: potencial em duas regiões (esquerda: V=0; direita: V=V_{0}), energia E>V_{0} (portanto ambas as regiões permitem modos propagantes), massa m e constante de Planck reduzida \hbar. A solução exigirá escrever a equação de Schrödinger em cada região, aplicar condições de continuidade em x=0 e calcular fluxos de probabilidade para obter R e T.
Passo 2
Escrever a equação de Schrödinger independente do tempo e explicar o que significa:
A equação de Schrödinger independente do tempo em uma dimensão é
Aqui \psi(x) é a função de onda estacionária (complexa), m é a massa da partícula, \hbar é a constante de Planck reduzida, V(x) é o potencial e E é a energia (autovalor). Para cada trecho onde V(x) é constante, a equação reduz-se a uma equação diferencial linear com soluções exponenciais complexas (ondas planas).
Definimos os números de onda nas duas regiões (esses números de onda controlam o comprimento de onda das ondas):
onde k_{1} corresponde à região x<0 (V=0) e k_{2} à região x\ge 0 (V=V_{0}). Como E>V_{0}, tanto k_{1} quanto k_{2} são reais e positivos, logo temos ondas propagantes em ambas as regiões.
Passo 3
Soluções gerais em cada região (explicar escolha física das ondas):
Para x<0 (região I, V=0) a equação é
-\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=E\psi(x),
cuja solução geral é combinação linear de exponenciais complexas (ondas planas). Escrevemos a forma conveniente para problemas de espalhamento:
\psi_{I}(x)=A\,e^{i k_{1} x}+B\,e^{-i k_{1} x},
onde A é a amplitude da onda incidente que vem da esquerda (movendo-se para a direita) e B é a amplitude da onda refletida (movendo-se para a esquerda). A interpretação física: e^{i k_{1} x} tem corrente positiva (direção +x), e^{-i k_{1} x} tem corrente negativa.
ou seja -\frac{\hbar^{2}}{2m}\psi''(x)=(E-V_{0})\psi(x), solução geral
\psi_{II}(x)=C\,e^{i k_{2} x}+D\,e^{-i k_{2} x}.
Aqui C é a amplitude da onda que avança para a direita em x\ge0 e D a de uma onda que vem do infinito x\to+\infty.
No problema físico padrão de uma partícula incidindo do lado esquerdo não há onda incidente vinda da direita (nada chega do +\infty), portanto tomamos a condição física
D=0.
Assim a solução física em x\ge0 é
\psi_{II}(x)=C\,e^{i k_{2} x}.
Passo 4
Impor as condições de contorno em [x=0) e resolver as equações lineares:
As condições de contorno para potencial finito e contínuo são a continuidade de \psi(x) e de sua derivada \psi'(x) em x=0:
Definir os coeficientes de reflexão e transmissão (justificando o fator de corrente):
Os coeficientes probabilísticos R e T medem frações da corrente de probabilidade refletida e transmitida, respectivamente, em relação à corrente incidente. O fluxo (corrente) de probabilidade em uma dimensão para uma função de onda \psi é
j(x)=\frac{\hbar}{m}\Im\!\big(\psi^{*}\psi'\big).
Para uma onda plana \psi(x)=\mathcal{A}e^{i k x} tem-se
j=\frac{\hbar k}{m}|\mathcal{A}|^{2}.
No nosso caso:
corrente incidente (onda A e^{i k_{1}x}) tem
j_{\text{inc}}=\frac{\hbar k_{1}}{m}|A|^{2}.
corrente refletida (onda B e^{-i k_{1}x}) tem direção negativa, módulo
Note que o fator \dfrac{k_{2}}{k_{1}} aparece em T porque as velocidades de fase/grupo (e portanto os fluxos) nas duas regiões são proporcionais a k/\!m.
Passo 6
Calcular R e T explicitamente usando as amplitudes encontradas:
Isto representa conservação da corrente/probabilidade (sem absorção).
Passo 8
Discutir o limite clássico E\gg V_{0} (intuição e aproximações):
Quando E\gg V_{0} então k_{1} e k_{2} são quase iguais. Escrevendo k_{2}=k_{1}\sqrt{1-\dfrac{V_{0}}{E}} e expandindo para pequeno parâmetro \dfrac{V_{0}}{E}\ll1:
Interpretação física: no limite clássico E\gg V_{0} a partícula tem energia muito maior que o degrau, então quase toda a onda é transmitida — o pequeno R residual é efeito puramente quântico de interferência na frente do degrau. No limite E\to\infty recupera-se R\to0 e T\to1, consistente com a intuição clássica de que a partícula não é refletida por um pequeno degrau energético.
Resposta
Região x<0: \displaystyle \psi_{I}(x)=A\,e^{i k_{1} x}+B\,e^{-i k_{1} x}, com \displaystyle k_{1}=\frac{\sqrt{2mE}}{\hbar}.
Região x\ge 0: \displaystyle \psi_{II}(x)=C\,e^{i k_{2} x} (assumindo nenhuma onda incidente de +\infty), com \displaystyle k_{2}=\frac{\sqrt{2m(E-V_{0})}}{\hbar}.
Condições em x=0 dão as relações \displaystyle \frac{B}{A}=\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}},\qquad
\frac{C}{A}=\frac{2k_{1}}{k_{1}+k_{2}}.
Coeficientes de reflexão e transmissão: \displaystyle R=\left(\frac{k_{1}-k_{2}}{k_{1}+k_{2}}\right)^{2},\qquad
T=\frac{4k_{1}k_{2}}{(k_{1}+k_{2})^{2}}.
Verifica-se algébrica e diretamente que \displaystyle R+T=1.
Limite clássico E\gg V_{0}: tem k_{2}\approx k_{1}(1-\tfrac{V_{0}}{2E}), logo R\approx \dfrac{V_{0}^{2}}{16E^{2}}\ll1 e T\approx 1-R\approx 1. Ou seja, reflexão quântica é muito pequena e a transmissão tende a 1.