A densidade de probabilidade de uma partícula em uma dimensão é dada por
Mostre que a densidade de corrente de probabilidade é
Passo 1
O enunciado nos dá a densidade de probabilidade em uma dimensão:
Pede-se para mostrar que a densidade de corrente de probabilidade é
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas implicitamente pela física do problema):
- A função
satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão (potencial real):
- A conjugada complexa
satisfaz a equação conjugada (usando que é real).
O objetivo imediato é derivar uma equação de conservação do tipo continuidade
e identificar a expressão de
mostrada acima.
Passo 2
Calcular a derivada temporal da densidade usando a regra do produto (produto de
por
):
Comentário didático: a derivada de um produto
é
. Aqui
e
. Note que
é a conjugada de
.
Passo 3
Escrever a equação de Schrödinger e a sua conjugada, e isolar
e
.
Equação de Schrödinger:
Equação de Schrödinger:
Isolando
:
Equação conjugada (tomando conjugado complexo de toda a equação; usamos que
é real, logo
):
Multiplicando por
obtemos
e isolando
Passo 4
Substituir
e
na expressão de
.
Temos
Temos
Agora observe que as contribuições com o potencial se cancelam:
porque são termos idênticos (mesmo valor) subtraídos. Portanto sobra apenas a parte cinética:
Passo 5
Fatorar constantes e simplificar os coeficientes:
Explicação do passo:
e o sinal negativo vem do primeiro termo.
Passo 6
Usar uma identidade do cálculo diferencial para escrever a combinação de segundas derivadas como uma derivada espacial de algo. Aplicando a regra do produto:
pois os termos
e
se cancelam. Portanto podemos reescrever
como
Passo 7
Identificar a equação de continuidade. Colocando a derivada espacial do lado direito obtemos
Comparando com a forma padrão da continuidade
vemos que a densidade de corrente
é exatamente o termo entre colchetes:
Passo 8
Comentário final didático e intuição: a expressão encontrada pode ser escrita de forma alternativa mais compacta como
porque a combinação
é
vezes a parte imaginária de
. Fisicamente,
é a densidade de probabilidade e
mede o fluxo de probabilidade — a continuidade garante conservação de probabilidade local quando o potencial é real.