A densidade de probabilidade de uma partícula em uma dimensão é dada por
\rho(x, t)=|\Psi(x, t)|^{2}=\Psi^{*}(x, t) \Psi(x, t)
Mostre que a densidade de corrente de probabilidade é
J(x, t)=\frac{\hbar}{2 m i}\left[\Psi^{*} \frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi \frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right]

Passo 1

O enunciado nos dá a densidade de probabilidade em uma dimensão:
\rho(x,t)=|\Psi(x,t)|^{2}=\Psi^{*}(x,t)\Psi(x,t).
Pede-se para mostrar que a densidade de corrente de probabilidade é
J(x,t)=\frac{\hbar}{2 m i}\left[\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right].
Informações relevantes que vamos usar (fornecidas implicitamente pela física do problema):
  • A função \Psi(x,t) satisfaz a equação de Schrödinger dependente do tempo em uma dimensão (potencial V(x,t) real):
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi.
  • A conjugada complexa \Psi^{*} satisfaz a equação conjugada (usando que V é real).
    O objetivo imediato é derivar uma equação de conservação do tipo continuidade
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial J}{\partial x}=0
e identificar a expressão de J(x,t) mostrada acima.

Passo 2

Calcular a derivada temporal da densidade usando a regra do produto (produto de \Psi^{*} por \Psi):
\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{\partial}{\partial t}\big(\Psi^{*}\Psi\big) =\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial t}+\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}.
Comentário didático: a derivada de um produto uv é u'v+uv'. Aqui u=\Psi^{*} e v=\Psi. Note que \partial\Psi^{*}/\partial t é a conjugada de \partial\Psi/\partial t.

Passo 3

Escrever a equação de Schrödinger e a sua conjugada, e isolar \partial\Psi/\partial t e \partial\Psi^{*}/\partial t.
Equação de Schrödinger:
i\hbar\frac{\partial \Psi}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi.
Isolando \partial\Psi/\partial t:
\frac{\partial \Psi}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\left(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi\right).
Equação conjugada (tomando conjugado complexo de toda a equação; usamos que V é real, logo V^{*}=V):
-i\hbar\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}+V\Psi^{*}.
Multiplicando por -1 obtemos
i\hbar\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}-V\Psi^{*},
e isolando
\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\left(\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}-V\Psi^{*}\right).

Passo 4

Substituir \partial\Psi/\partial t e \partial\Psi^{*}/\partial t na expressão de \partial\rho/\partial t.
Temos
\begin{aligned} \frac{\partial \rho}{\partial t} &=\Psi^{*}\frac{1}{i\hbar}\Big(-\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+V\Psi\Big) +\Psi\frac{1}{i\hbar}\Big(\frac{\hbar^{2}}{2m}\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}-V\Psi^{*}\Big)\\[6pt] &=\frac{1}{i\hbar}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}} +V\Psi^{*}\Psi - V\Psi\Psi^{*}\right]. \end{aligned}
Agora observe que as contribuições com o potencial se cancelam:
V\Psi^{*}\Psi - V\Psi\Psi^{*}=0,
porque são termos idênticos (mesmo valor) subtraídos. Portanto sobra apenas a parte cinética:
\frac{\partial \rho}{\partial t}=\frac{1}{i\hbar}\left[-\frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}+\frac{\hbar^{2}}{2m}\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right].]

Passo 5

Fatorar constantes e simplificar os coeficientes:
\frac{\partial \rho}{\partial t} =-\frac{\hbar}{2mi}\left[\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}}\right].
Explicação do passo: 1/(i\hbar)\cdot(\hbar^{2}/2m)=\hbar/(2mi) e o sinal negativo vem do primeiro termo.

Passo 6

Usar uma identidade do cálculo diferencial para escrever a combinação de segundas derivadas como uma derivada espacial de algo. Aplicando a regra do produto:
\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right) =\Psi^{*}\frac{\partial^{2}\Psi}{\partial x^{2}}-\Psi\frac{\partial^{2}\Psi^{*}}{\partial x^{2}},
pois os termos \Psi^{*'\!}\Psi' e -\Psi'\Psi^{*'} se cancelam. Portanto podemos reescrever \partial\rho/\partial t como
\frac{\partial \rho}{\partial t} =-\frac{\hbar}{2mi}\frac{\partial}{\partial x}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right).

Passo 7

Identificar a equação de continuidade. Colocando a derivada espacial do lado direito obtemos
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}\!\left[\frac{\hbar}{2mi}\left(\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right)\right]=0.
Comparando com a forma padrão da continuidade
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\frac{\partial J}{\partial x}=0,
vemos que a densidade de corrente J(x,t) é exatamente o termo entre colchetes:
J(x,t)=\frac{\hbar}{2 m i}\left[\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right].

Passo 8

Comentário final didático e intuição: a expressão encontrada pode ser escrita de forma alternativa mais compacta como
J=\frac{\hbar}{m}\,\mathrm{Im}\!\left(\Psi^{*}\frac{\partial\Psi}{\partial x}\right),
porque a combinação \Psi^{*}\Psi'-\Psi\Psi^{*'} é 2i vezes a parte imaginária de \Psi^{*}\Psi'. Fisicamente, \rho é a densidade de probabilidade e J mede o fluxo de probabilidade — a continuidade garante conservação de probabilidade local quando o potencial é real.

Resposta

J(x,t)=\frac{\hbar}{2 m i}\left[\Psi^{*}\frac{\partial \Psi}{\partial x}-\Psi\frac{\partial \Psi^{*}}{\partial x}\right]

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