O momento de inércia de um anel de massa M e raio R é maior do que o de um disco de mesma massa e mesmo raio, em relação a um eixo perpendicular ao plano das figuras e que passa pelo seus centros.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso

Passo 1

O enunciado dá duas figuras: um anel e um disco, ambos com mesma massa M e mesmo raio R. O eixo considerado é perpendicular ao plano das figuras e passa pelos seus centros. A pergunta é decidir se a afirmação “o momento de inércia do anel é maior do que o do disco (nessas condições)” é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes:
  • Massa comum: M.
  • Raio comum: R.
  • Eixo: perpendicular ao plano, passando pelo centro (eixo de simetria).
  • Pedido: comparar I_{\text{anel}} e I_{\text{disco}} e decidir Verdadeiro/Falso.

Passo 2

O que é momento de inércia? Vou explicar de forma bem didática. O momento de inércia mede a “resistência” de um objeto a mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Para um conjunto de massas discretas, a definição é
I=\sum m_i r_i^{2},
onde m_i é a massa de um elemento e r_i é a distância desse elemento ao eixo de rotação. Para um corpo contínuo usamos a versão integral:
I=\int r^{2}\,dm,
onde r é a distância de cada pequeno elemento de massa dm até o eixo. Repare: quanto maior a massa que está longe do eixo (maior r), maior o contribuí­do para I porque vem com r^{2}.

Passo 3

Cálculo do momento de inércia do anel (anel fino, toda massa concentrada no raio R). Nesse caso todos os elementos de massa estão à mesma distância R do eixo, então a soma/integral é simples:
I_{\text{anel}}=M R^{2}.
Explicando: cada pedaço de massa contribui com m_i R^{2} e somando tudo dá M R^{2}.

Passo 4

Cálculo do momento de inércia do disco sólido. Aqui a massa está distribuída do centro até o raio R. Procedimento passo a passo:
  1. Definir densidade superficial (massa por área) do disco:
\sigma=\frac{M}{\pi R^{2}},
onde \sigma tem unidades de massa por área.
  1. Escolher um elemento de área em coordenadas polares: um anel infinitesimal de raio r e espessura dr tem área
dA = r\,dr\,d\theta,
mas, ao integrar sobre todo o disco, integra-se \theta de 0 a 2\pi; para um anel circular (toda a volta) o elemento de massa do anel é
dm=\sigma\cdot(2\pi r\,dr)=\sigma\cdot dA_{\text{anel}}.
  1. A contribuição ao momento de inércia de um anel de raio r e massa dm é r^{2}dm. Assim:
I_{\text{disco}}=\int r^{2}\,dm=\int_{0}^{R} r^{2}\bigl(\sigma\cdot 2\pi r\,dr\bigr).
  1. Tirando constantes:
I_{\text{disco}}=2\pi\sigma\int_{0}^{R} r^{3}\,dr.
  1. Calcular a integral:
\int_{0}^{R} r^{3}\,dr=\frac{R^{4}}{4},
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I_{\text{disco}}=2\pi\sigma\cdot\frac{R^{4}}{4}=\frac{\pi\sigma R^{4}}{2}.
  1. Substituir \sigma=\dfrac{M}{\pi R^{2}}:
I_{\text{disco}}=\frac{\pi}{2}\cdot\frac{M}{\pi R^{2}}\cdot R^{4}=\frac{1}{2} M R^{2}.
Portanto o momento de inércia do disco em relação ao eixo dado é
I_{\text{disco}}=\frac{1}{2} M R^{2}.

Passo 5

Comparação numérica e interpretação:
I_{\text{anel}}=M R^{2}, \qquad I_{\text{disco}}=\frac{1}{2}M R^{2}.
Assim I_{\text{anel}}=2\,I_{\text{disco}}. O anel tem momento de inércia maior — intuitivamente porque toda a massa do anel está mais longe do eixo (em r=R), enquanto no disco parte da massa está mais próxima do eixo, contribuindo menos (lembre que a contribuição vai como r^{2}).

Resposta

Verdadeiro

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