O momento de inércia de um anel de massa M e raio R é maior do que o de um disco de mesma massa e mesmo raio, em relação a um eixo perpendicular ao plano das figuras e que passa pelo seus centros.
Escolha uma opção:
◯ Verdadeiro
◯ Falso
◯ Verdadeiro
◯ Falso
Passo 1
O enunciado dá duas figuras: um anel e um disco, ambos com mesma massa
e mesmo raio
. O eixo considerado é perpendicular ao plano das figuras e passa pelos seus centros. A pergunta é decidir se a afirmação “o momento de inércia do anel é maior do que o do disco (nessas condições)” é verdadeira ou falsa.
Informações relevantes:
- Massa comum:
. - Raio comum:
. - Eixo: perpendicular ao plano, passando pelo centro (eixo de simetria).
- Pedido: comparar
e e decidir Verdadeiro/Falso.
Passo 2
O que é momento de inércia? Vou explicar de forma bem didática. O momento de inércia mede a “resistência” de um objeto a mudar seu estado de rotação em torno de um eixo. Para um conjunto de massas discretas, a definição é
onde
é a massa de um elemento e
é a distância desse elemento ao eixo de rotação. Para um corpo contínuo usamos a versão integral:
onde
é a distância de cada pequeno elemento de massa
até o eixo. Repare: quanto maior a massa que está longe do eixo (maior
), maior o contribuído para
porque vem com
.
Passo 3
Cálculo do momento de inércia do anel (anel fino, toda massa concentrada no raio
). Nesse caso todos os elementos de massa estão à mesma distância
do eixo, então a soma/integral é simples:
Explicando: cada pedaço de massa contribui com
e somando tudo dá
.
Passo 4
Cálculo do momento de inércia do disco sólido. Aqui a massa está distribuída do centro até o raio
. Procedimento passo a passo:
- Definir densidade superficial (massa por área) do disco:
onde
tem unidades de massa por área.
- Escolher um elemento de área em coordenadas polares: um anel infinitesimal de raio
e espessura tem área
mas, ao integrar sobre todo o disco, integra-se
de
a
; para um anel circular (toda a volta) o elemento de massa do anel é
- A contribuição ao momento de inércia de um anel de raio
e massa é . Assim:
- Tirando constantes:
- Calcular a integral:
logo
- Substituir
:
Portanto o momento de inércia do disco em relação ao eixo dado é
Passo 5
Comparação numérica e interpretação:
Assim
. O anel tem momento de inércia maior — intuitivamente porque toda a massa do anel está mais longe do eixo (em
), enquanto no disco parte da massa está mais próxima do eixo, contribuindo menos (lembre que a contribuição vai como
).
Resposta
Verdadeiro