Considere o PPL
\begin{aligned} \min & -4 x_{1}-5 x_{2} \\\ & x_{1}+4 x_{2}-x_{3}=5 \\\ & 3 x_{1}+2 x_{2}-x_{4}=7 \\\ & x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4} \geq 0 \end{aligned}
(1) Mostre que B=\left[a_{2} a_{1}\right] é uma base ótima para o problema.
(2) Suponha que o lado direito da restrição (32) seja alterado para 16. A matriz B=\left[a_{2} a_{1}\right] é uma base ótima para o problema modificado?
(3) Suponha que o custo associado a variável x_{2} seja modificado para -2. A matriz B=\left[\begin{array}{ll}a_{2} & a_{1}\end{array}\right] é uma base ótima para o problema modificado

Passo 1

O enunciado dá o PPL
\begin{aligned} \min\;&-4x_{1}-5x_{2}\\\ \text{sujeito a}\;&x_{1}+4x_{2}+x_{3}=5,\\\ &3x_{1}+2x_{2}+x_{4}=7,\\\ &x_{1},x_{2},x_{3},x_{4}\ge0. \end{aligned}
Pediu‐se (1) mostrar que a base B=[a_{2}\;a_{1}] é ótima, (2) examinar o que ocorre se o segundo lado‐direito passa a valer 16, e (3) se o custo de x_{2} muda para -2. Vamos usar o método simplex: calcular a solução básica associada a B, verificar a viabilidade e checar as condições de otimalidade via custos reduzidos, e finalmente fazer análise de sensibilidade para alterações em b e em c.

Passo 2

As colunas de A são
a_{1}=\begin{pmatrix}1\\\ 3\end{pmatrix},\quad a_{2}=\begin{pmatrix}4\\\ 2\end{pmatrix},\quad a_{3}=\begin{pmatrix}1\\\ 0\end{pmatrix},\quad a_{4}=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},
e o lado‐direito b=(5,7)^{\mathsf T}. Para a base B=[a_{2}\;a_{1}] temos
B=\begin{pmatrix}4&1\\\ 2&3\end{pmatrix},\quad\det B=10,\quad B^{-1}=\frac1{10}\begin{pmatrix}3&-1\\\ -2&4\end{pmatrix}.
A solução básica é
x_{B}=B^{-1}b =\frac1{10}\begin{pmatrix}3&-1\\\ -2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}5\\\ 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0{,}8\\\ 1{,}8\end{pmatrix},
isto é \;x_{2}=0{,}8,\;x_{1}=1{,}8,\;x_{3}=x_{4}=0, que é viável.
O vetor de custos básicos é c_{B}=(-5,\,-4). O multiplicador dual é
y = c_{B}\,B^{-1} =\bigl(-5,\,-4\bigr)\frac1{10}\begin{pmatrix}3&-1\\\ -2&4\end{pmatrix} =\bigl(-0{,}7,\,-1{,}1\bigr).
Os custos reduzidos para x_{3} e x_{4} são
\bar c_{3}=c_{3}-y\,a_{3} =0-\bigl(-0{,}7\cdot1+(-1{,}1)\cdot0\bigr)=0{,}7\ge0,
\bar c_{4}=c_{4}-y\,a_{4} =0-\bigl(-0{,}7\cdot0+(-1{,}1)\cdot1\bigr)=1{,}1\ge0.
Como todos os custos reduzidos estão não negativos, a base é ótima.

Passo 3

Agora suponha que o segundo lado‐direito mude de (5,7) para (16,7). O novo básico seria
x_{B}'=B^{-1}\begin{pmatrix}16\\\ 7\end{pmatrix} =\frac1{10}\begin{pmatrix}3&-1\\\ -2&4\end{pmatrix} \begin{pmatrix}16\\\ 7\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}(48-7)/10\\(-32+28)/10\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4{,}1\\\ -0{,}4\end{pmatrix}.
Como x_{1}=-0{,}4<0, a solução deixa de ser viável, e portanto B não pode ser ótima no problema modificado.)

Passo 4

Finalmente, se mantemos o b original e alteramos apenas o custo de x_{2} de -5 para -2, então
c_{B}^{\text{novo}}=(-2,\,-4),\quad y'=c_{B}^{\text{novo}}\,B^{-1} =\bigl(-2,-4\bigr)\tfrac1{10}\begin{pmatrix}3&-1\\\ -2&4\end{pmatrix} =\bigl(0{,}2,\,-1{,}4\bigr).
O custo reduzido de x_{3} passa a ser
\bar c_{3}'=0-\bigl(0{,}2\cdot1+(-1{,}4)\cdot0\bigr)=-0{,}2<0,
violando a condição de otimalidade. Logo B não permanece ótima.

Resposta

(1) B=[a_{2}\;a_{1}] é ótima.
(2) Não.
(3) Não.

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