Mostre que cada uma das funções seguintes não é um produto interno de \mathbf{R}^{3}, \operatorname{com} u=\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}\right) e v=\left(y_{1}, y_{2}, y_{3}\right).
\langle u, v\rangle=x_{1} y_{2} x_{3}+y_{1} x_{2} y_{3}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a aplicação
\langle u,v\rangle \;=\; x_{1}y_{2}x_{3}\;+\;y_{1}x_{2}y_{3},
com u=(x_{1},x_{2},x_{3}) e v=(y_{1},y_{2},y_{3}), não satisfaz todos os axiomas de produto interno em \mathbb{R}^3. Para isso, vamos usar a definição: um produto interno deve ser bilinear (em particular, linear em cada argumento), simétrico e satisfazer positividade definida, ou seja, \langle u,u\rangle>0 para todo u\neq0.

Passo 2

Verificamos a simetria: trocando u por v obtemos
\langle v,u\rangle = y_{1}x_{2}y_{3} \;+\; x_{1}y_{2}x_{3} = \langle u,v\rangle,
logo é simétrica. Agora, vamos checar a positividade definida, calculando \langle u,u\rangle.

Passo 3

Substituindo v=u na fórmula, vem
\langle u,u\rangle = x_{1}x_{2}x_{3}\;+\;x_{1}x_{2}x_{3} =2\,x_{1}x_{2}x_{3}.
Para ser produto interno, deveríamos ter \langle u,u\rangle>0 sempre que u\neq0.

Passo 4

Escolhemos, por exemplo, u=(1,1,0). Então u\neq0, mas
\langle u,u\rangle =2\cdot1\cdot1\cdot0 =0,
violando a condição \langle u,u\rangle>0. Portanto essa aplicação não é um produto interno.

Resposta

A função falha a positividade definida (existe u\neq0 com \langle u,u\rangle=0), logo não é um produto interno.

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