Mostre que cada uma das funções seguintes não é um produto interno de
e
.
\langle u, v\rangle=x_{1} y_{2} x_{3}+y_{1} x_{2} y_{3}
\langle u, v\rangle=x_{1} y_{2} x_{3}+y_{1} x_{2} y_{3}
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que a aplicação
com
e
, não satisfaz todos os axiomas de produto interno em
. Para isso, vamos usar a definição: um produto interno deve ser bilinear (em particular, linear em cada argumento), simétrico e satisfazer positividade definida, ou seja,
para todo
.
Passo 2
Verificamos a simetria: trocando
por
obtemos
logo é simétrica. Agora, vamos checar a positividade definida, calculando
.
Passo 3
Substituindo
na fórmula, vem
Para ser produto interno, deveríamos ter
sempre que
.
Passo 4
Escolhemos, por exemplo,
. Então
, mas
violando a condição
. Portanto essa aplicação não é um produto interno.
Resposta
A função falha a positividade definida (existe
com
), logo não é um produto interno.