Considere o P.V.I. l(x-5) y^prime+(x-5) cdot(tg x) y=sen x y(6)=10
Sem resolvê-lo, e usando o Teorema da Existência e Unicidade, determine um intervalo no qual o P.V.I. dado tem certamente uma solução.

Passo 1

O enunciado apresenta o P.V.I.
(x-5),y' + (x-5),tan(x),y = sin(x), y(6)=10
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, vamos primeiro pôr a EDO na forma padrão
y' + p(x),y = g(x),
e depois verificar onde p e g são contínuas num intervalo que contenha x0=6.

Passo 2

Dividindo a equação por (x-5) (que exige xneq5), obtemos
y' + tan(x),y = sin(x)x-5
Logo
p(x)=tan(x), g(x)=sin(x)x-5
Pelo teorema, se p e g forem contínuas em algum intervalo aberto que contenha 6, então existe uma única solução nesse intervalo.

Passo 3

Identificamos os pontos de descontinuidade de p e g:
  • tan(x) é descontínua em x=pi2+kpi, kinZ.
  • sin(x)x-5 é descontínua em x=5.

Passo 4

O ponto inicial é x0=6. As descontinuidades mais próximas de 6 são:
  • À esquerda, x=5.
  • À direita, o próximo assíntota de tan(x) é x=tfrac5pi2approx7,85.
    Portanto, em qualquer intervalo aberto que fique estritamente entre 5 e tfrac5pi2 (e que contenha 6), p e g são contínuas.

Passo 5

Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução do P.V.I. no intervalo máximo onde p e g são contínuas em torno de 6, isto é, no intervalo
(5,tfrac5pi2)

Resposta

O P.V.I. tem solução única garantida no intervalo (5,tfrac5pi2), que contém x=6.

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