Considere o P.V.I.
Sem resolvê-lo, e usando o Teorema da Existência e Unicidade, determine um intervalo no qual o P.V.I. dado tem certamente uma solução.
Passo 1
O enunciado apresenta o P.V.I.
Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem. Para aplicar o Teorema de Existência e Unicidade, vamos primeiro pôr a EDO na forma padrão
e depois verificar onde
e
são contínuas num intervalo que contenha
.
Passo 2
Dividindo a equação por
(que exige
), obtemos
Logo
Pelo teorema, se
e
forem contínuas em algum intervalo aberto que contenha
, então existe uma única solução nesse intervalo.
Passo 3
Identificamos os pontos de descontinuidade de
e
:
-
é descontínua em , . -
é descontínua em .
Passo 4
O ponto inicial é
. As descontinuidades mais próximas de
são:
- À esquerda,
. - À direita, o próximo assíntota de
é .
Portanto, em qualquer intervalo aberto que fique estritamente entree (e que contenha ), e são contínuas.
Passo 5
Pelo Teorema de Existência e Unicidade, existe uma única solução do P.V.I. no intervalo máximo onde
e
são contínuas em torno de
, isto é, no intervalo
Resposta
O P.V.I. tem solução única garantida no intervalo
, que contém
.