Resolva o P.V.I. ly^prime=y^2 y(0)=-2 e dê o intervalo de validade da solução.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
,y'=y^2,;y(0)=-2.
Esse tipo de EDO é separável, então vamos usar separação de variáveis e integração para encontrar a solução e depois determinar o intervalo de validade.

Passo 2

Para separar variáveis escrevemos
dydx=y^2, de onde
dyy^2=dx
Agora integramos ambos os lados:
integral y^-2,dy = integral 1,dx
que resulta em
-,1y=x+C

Passo 3

Aplicamos a condição inicial ,y(0)=-2. Substituindo x=0 e y=-2 em -1/y = x+C obtemos
-1-2=0+C Longrightarrow C=12

Passo 4

Com C=tfrac12 temos
-,1y=x+12 Longrightarrow 1y=-l(x+tfrac12r) Longrightarrow y(x)=-,1x+tfrac12
A solução só existe onde o denominador não é zero, ou seja xneq -tfrac12. Como a condição inicial está em x=0, o intervalo de validade maximal que contém zero é
l(-tfrac12,inftyr)

Resposta

y(x)=-1x+tfrac12,
intervalo de validade ,(-tfrac12,infty).

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