f(x)=sen(3 x)
$$
M=f{\prime}\left(\frac{\pi}{3}\right)+f{\prime \prime}\left(\frac{\pi}{2}\right)+f^{\prime \prime \prime}\left(\frac{2 \pi}{3}\right) , a terça parte de M vale: -7

Passo 1

Neste exercício, temos a função f(x)=sin(3x) e queremos calcular três derivadas em pontos específicos: f'(pi/3), f''(pi/2) e f'''(2pi/3). O assunto é derivação de funções trigonométricas usando regra da cadeia, e vamos somar esses valores para obter M e depois calcular um terço de M.

Passo 2

Primeiro vamos achar as derivadas de ordem 1, 2 e 3 usando regra da cadeia. A derivada de sin(u) é cos(u)cdot u'.
A derivada de ordem 1:
f'(x)=ddxl(sin(3x)r)=cos(3x)cdot3=3cos(3x)
A derivada de ordem 2:
f''(x)=ddxl(3cos(3x)r)=3l(-sin(3x)r)cdot3=-9sin(3x)
A derivada de ordem 3:
f'''(x)=ddxl(-9sin(3x)r)=-9cos(3x)cdot3=-27cos(3x)

Passo 3

Agora avaliamos em cada ponto:
Para f'(pi/3):
f'(tfracpi3)=3cosl(3cdottfracpi3r)=3cos(pi)=3times(-1)=-3
Para f''(pi/2):
f''(tfracpi2)=-9sinl(3cdottfracpi2r)=-9sin(tfrac3pi2)=-9times(-1)=9
Para f'''(2pi/3):
f'''l(tfrac2pi3r)=-27cosl(3cdottfrac2pi3r)=-27cos(2pi)=-27times1=-27

Passo 4

Somando tudo para obter M e dividindo por 3:
M=(-3)+9+(-27)=-21,
tfracM3=-7

Resposta

-7

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