Considere a e.d.o, . Verifique que é um ponto singular regular da equação.
(a) Mostre que e são as raízes da equação indicial associada à equação.
(b) Debido a que , o teorema de Frobenius garante que a equação possui duas soluções L.I. da forma:
Mostre que a relação de recorrência para os termos das séries ( em cada caso) é: para .
(c) Mostre que e . Portanto a solução geral é:
Ou equivalentemente .
Passo 1
O enunciado considera a equação de Frobenius
em torno de . Vamos mostrar que é um ponto singular regular, encontrar a equação indicial, as raízes e derivar as recorrências para as séries de Frobenius correspondentes.
Passo 2
Colocando em forma padrão obtemos
ou seja
Como e são analíticos em , concluímos que é ponto singular regular.
Passo 3
Na Frobenius supomos . Então
Substituindo em obtemos os termos de menor potência :