Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
em que
é o vetor com os valores da média (
e
são constantes) e
é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Usando a transformação
mostre que a Gaussiana é reescrita na forma
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, usada a transformação
, a forma quadrática
vira
e então a Gaussiana fica
. O conteúdo aqui é manipular formas quadráticas e usar decomposição de uma matriz simétrica positiva.
Passo 2
Sabendo que
, podemos reescrever a forma quadrática como
Passo 3
Definindo a nova variável
temos
Passo 4
Substituindo na densidade original,
Passo 5
Basta observar que
. Então a Gaussiana fica na forma desejada.