Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
p(x, y)=K e^-12(r-m)^T A(r-m)
em que r=(x, y)^T, m=(mu, omega)^T é o vetor com os valores da média ( mu e omega são constantes) e A=M^T M é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Usando a transformação
M=[ll a & b b & c ]
mostre que a Gaussiana é reescrita na forma
w=[l u v ]=[l a(x-mu)+b(y-omega) b(x-mu)+c(y-omega) ]

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, usada a transformação w=M( r- m), a forma quadrática ( r- m)^T A( r- m) vira w^T w e então a Gaussiana fica K e^-tfrac12 w^T w=K e^-tfrac12(u^2+v^2). O conteúdo aqui é manipular formas quadráticas e usar decomposição de uma matriz simétrica positiva.

Passo 2

Sabendo que A=M^T M, podemos reescrever a forma quadrática como
( r- m)^T A( r- m)=( r- m)^T M^T M( r- m)

Passo 3

Definindo a nova variável
w=M( r- m)=uv,
temos
( r- m)^T M^T M( r- m)=(M( r- m))^T(M( r- m))= w^T w

Passo 4

Substituindo na densidade original,
p(x,y)=K e^-tfrac12( r- m)^T A( r- m)=K e^-tfrac12 w^T w

Passo 5

Basta observar que w^T w=u^2+v^2. Então a Gaussiana fica na forma desejada.

Resposta

p(x,y)=K e^-tfrac12(u^2+v^2)

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