Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=x²–x y+y² e verificar se há extremos absolutos no domínio ℝ². Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente e depois examinar a Hessiana para classificar o ponto.
Passo 2
Calcule as derivadas parciais:
Igualando a zero, resolvemos o sistema:
Da primeira equação vem . Substituindo na segunda:
Logo . O único ponto crítico é (0,0).
Igualando a zero, resolvemos o sistema:
Da primeira equação vem
Logo
Passo 3
Construa a Hessiana:
Para ver se é mínimo ou máximo, checamos os menores determinantes principais:
1)
2)
Como todos os menores determinantes principais são positivos, a Hessiana é definida positiva e (0,0) é ponto de mínimo local.
Passo 4
Como f é uma forma quadrática positiva definida, cresce indefinidamente para
. Portanto esse mínimo local em (0,0) é também mínimo absoluto. Não há máximo absoluto, pois f não é limitada acima.
Resposta
O único ponto crítico é (0,0), que é mínimo local e mínimo absoluto com f(0,0)=0. Não existem máximos absolutos no domínio.