Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
z=x^2-x y+y^2

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de f(x,y)=x²–x y+y² e verificar se há extremos absolutos no domínio ℝ². Vamos usar derivadas parciais para achar o gradiente e depois examinar a Hessiana para classificar o ponto.

Passo 2

Calcule as derivadas parciais:
fx = partial fpartial x = 2x - y
fy = partial fpartial y = -x + 2y
Igualando a zero, resolvemos o sistema:
2x - y = 0
-x + 2y = 0
Da primeira equação vem y=2x. Substituindo na segunda:
-x + 2(2x)=0 implies -x+4x=0 implies 3x=0 implies x=0
Logo y=2cdot0=0. O único ponto crítico é (0,0).

Passo 3

Construa a Hessiana:
H = fxx & fxy fyx & fyy = 2 & -1 -1 & 2
Para ver se é mínimo ou máximo, checamos os menores determinantes principais:
1) D1 = 2>0
2) D2 = det H = 2cdot2 - (-1)cdot(-1) = 4-1=3>0
Como todos os menores determinantes principais são positivos, a Hessiana é definida positiva e (0,0) é ponto de mínimo local.

Passo 4

Como f é uma forma quadrática positiva definida, cresce indefinidamente para |(x,y)|toinfty. Portanto esse mínimo local em (0,0) é também mínimo absoluto. Não há máximo absoluto, pois f não é limitada acima.

Resposta

O único ponto crítico é (0,0), que é mínimo local e mínimo absoluto com f(0,0)=0. Não existem máximos absolutos no domínio.

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