Esboce o gráfico da função y=x ln (x).

Passo 1

A função dada é y = x ln(x). Vamos precisar estudar domínio, interceptos, limites, derivada para monotonia e segunda derivada para concavidade para conseguir esboçar o gráfico.

Passo 2

O domínio da função é dado por x>0, pois ln(x) só está definida para valores positivos. O único intercepto com o eixo x ocorre quando y=0, isto é, xln(x)=0. Como ln(x)=0 se dá em x=1, o gráfico cruza o eixo x em (1,0).

Passo 3

Para entender o comportamento próximo de x=0^+ e xto+infty, calculamos limites. Perto de zero temos
limxto0^+xln(x)=0,
mas como ln(x) é negativo fica a curva aproximando de (0,0) por baixo. E para xto+infty:
limxto+inftyxln(x)=+infty,
mostrando que a função cresce sem limite para valores grandes de x.

Passo 4

Agora, calculemos a derivada para ver onde a função cresce ou decresce. Temos
y'=ddx[xln(x)] = 1cdotln(x) + xcdot1x = ln(x) +1

Passo 5

A condição y'=0 ln(x) +1 =0, ou seja x = e^-1 = tfrac1e. Analisando o sinal de y':
  • Para 0, ln(x)<-1 então y'<0 (função decrescente).
  • Para x>tfrac1e, ln(x)>-1 então y'>0 (função crescente).
    O valor mínimo ocorre em x=tfrac1e. Substituindo na função:
yl(tfrac1er)=tfrac1elnl(tfrac1er)=tfrac1e(-1)=-tfrac1e

Passo 6

Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
y''=ddx[ln(x)+1]=1x>0para todo x>0

Passo 7

Como y''>0, a curva é sempre côncava para cima. Dessa forma, montamos o esboço:
  • Começa próximo de (0,0) por baixo, vai decrescendo até (tfrac1e,-tfrac1e).
  • A seguir aumenta, cruza em (1,0) e cresce indefinidamente, sempre côncava para cima.

Resposta

O gráfico de y=xln(x) está definido para x>0, aproxima-se de (0,0) por baixo, decresce até o ponto (1/e,-1/e), depois cresce, cruza o eixo x em (1,0) e sobe indefinidamente, sendo sempre côncavo para cima.

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