Esboce o gráfico da função
.
Passo 1
A função dada é
. Vamos precisar estudar domínio, interceptos, limites, derivada para monotonia e segunda derivada para concavidade para conseguir esboçar o gráfico.
Passo 2
O domínio da função é dado por
, pois
só está definida para valores positivos. O único intercepto com o eixo
ocorre quando
, isto é,
. Como
se dá em
, o gráfico cruza o eixo
em
.
Passo 3
Para entender o comportamento próximo de
e
, calculamos limites. Perto de zero temos
mas como
mostrando que a função cresce sem limite para valores grandes de
.
Passo 4
Agora, calculemos a derivada para ver onde a função cresce ou decresce. Temos
Passo 5
A condição
dá
, ou seja
. Analisando o sinal de
:
- Para
, então (função decrescente). - Para
, então (função crescente).
O valor mínimo ocorre em. Substituindo na função:
Passo 6
Para a concavidade, calculamos a segunda derivada:
Passo 7
Como
, a curva é sempre côncava para cima. Dessa forma, montamos o esboço:
- Começa próximo de
por baixo, vai decrescendo até . - A seguir aumenta, cruza em
e cresce indefinidamente, sempre côncava para cima.
Resposta
O gráfico de
está definido para
, aproxima-se de
por baixo, decresce até o ponto
, depois cresce, cruza o eixo
em
e sobe indefinidamente, sendo sempre côncavo para cima.