Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
z=x^2+2 x y+3 y^2+4 x+6 y

Passo 1

Então, a função que estudamos é z = x^2 + 2xy + 3y^2 + 4x + 6y. É uma função quadrática de duas variáveis. O que precisamos: achar o gradiente para encontrar os pontos críticos, usar o Hessiano para classificá-los e, por fim, verificar se existem extremos absolutos no domínio R^2.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais da função. Lembre que pontos críticos acontecem quando o gradiente some.
partial zpartial x = 2x + 2y + 4
partial zpartial y = 2x + 6y + 6

Passo 3

Igualamos cada derivada a zero e resolvemos o sistema:
2x + 2y + 4 = 0
2x + 6y + 6 = 0
Subtraindo a primeira da segunda, temos 4y + 2 = 0 então y = -tfrac12. Substituindo em 2x + 2(-tfrac12) + 4 = 0 vem 2x + 3 = 0, logo x = -tfrac32. O ponto crítico é (-tfrac32, -tfrac12).

Passo 4

Agora montamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
H = partial^2 zpartial x^2 & partial^2 zpartial x partial y partial^2 zpartial y partial x & partial^2 zpartial y^2 = 2 & 2 2 & 6

Passo 5

Para classificar, calculamos os menores principais: De 0 e De 0. Como todos são positivos, o Hessiano é definido positivo, indicando que o ponto crítico é mínimo local.

Passo 6

Por ser uma forma quadrática definida positiva, z to +infty quando |(x,y)| to infty. Logo não há máximo absoluto e esse mínimo local em (-tfrac32, -tfrac12) é também o mínimo absoluto.

Resposta

O único ponto crítico é (-tfrac32, -tfrac12), que é um mínimo absoluto. Não existe máximo absoluto no domínio.

Exercícios relacionados