Localize e classifique os pontos críticos da função e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
Passo 1
Então, a função que estudamos é . É uma função quadrática de duas variáveis. O que precisamos: achar o gradiente para encontrar os pontos críticos, usar o Hessiano para classificá-los e, por fim, verificar se existem extremos absolutos no domínio .
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais da função. Lembre que pontos críticos acontecem quando o gradiente some.
Passo 3
Igualamos cada derivada a zero e resolvemos o sistema:
Subtraindo a primeira da segunda, temos então . Substituindo em vem , logo . O ponto crítico é .
Passo 4
Agora montamos o Hessiano, que é a matriz das segundas derivadas:
Passo 5
Para classificar, calculamos os menores principais: De 0 e De 0. Como todos são positivos, o Hessiano é definido positivo, indicando que o ponto crítico é mínimo local.
Passo 6
Por ser uma forma quadrática definida positiva, z to +infty quando |(x,y)| to infty. Logo não há máximo absoluto e esse mínimo local em (-tfrac32, -tfrac12) é também o mínimo absoluto.
Resposta
O único ponto crítico é (-tfrac32, -tfrac12), que é um mínimo absoluto. Não existe máximo absoluto no domínio.