Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
p(x, y)=K e^-12(r-m)^T A(r-m)
em que r=(x, y)^T, m=(mu, omega)^T é o vetor com os valores da média ( mu e omega são constantes) e A=M^T M é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Escreva M=[ll a & b b & c ] e x=x(u, v) e calcule o Jacobiano da transformação w.

Passo 1

O enunciado trata de uma distribuição gaussiana 2D definida por
p(x,y)=K,e^-tfrac12(r-m)^T A(r-m),
onde
r=xy, m=muomega, A=M^T M,
e queremos fazer a mudança de variáveis para (u,v) de modo a diagonalizar o expoente. Vamos precisar usar transformações lineares e propriedades de determinante.

Passo 2

Para simplificar o expoente, definimos a transformação linear
uv=Ml(r-mr),
ou seja w=(u,v)^T=M(r-m). A partir disso, o passo seguinte é resolver para r em função de (u,v).

Passo 3

Isolando r, temos
r-m=M^-1uv,
ou seja
r=m+M^-1uv

Passo 4

Agora calculamos explicitamente M^-1. Como
M=a & bb & c,
seu determinante é det M=ac-b^2 e
M^-1=1ac-b^2c & -b-b & a
Logo
xy=muomega+1ac-b^2c & -b-b & auv

Passo 5

Portanto as expressões são
$$x(u,v)=\mu+\frac{c,u - b,v}{ac-b^2},\quad
y(u,v)=\omega+\frac{-b,u + a,v}{ac-b^2}.$$
O Jacobiano da transformação x(u,v)=mu+c,u - b,vac-b^2, y(u,v)=omega+-b,u + a,vac-b^2 é o determinante da matriz de derivadas parciais, que é justamente (u,v)mapsto(x,y).

Passo 6

Usando a propriedade de determinantes,
$$J=\det\Bigl(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr)=\det(M^{-1})=\frac{1}{\det M}=\frac{1}{ac-b^2}.
$$

Resposta

O Jacobiano da transformação é
J=1ac - b^2

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