Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
em que
é o vetor com os valores da média (
e
são constantes) e
é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Escreva
e
e calcule o Jacobiano da transformação w.
Passo 1
O enunciado trata de uma distribuição gaussiana 2D definida por
onde
e queremos fazer a mudança de variáveis para
de modo a diagonalizar o expoente. Vamos precisar usar transformações lineares e propriedades de determinante.
Passo 2
Para simplificar o expoente, definimos a transformação linear
ou seja
Passo 3
Isolando
, temos
ou seja
Passo 4
Agora calculamos explicitamente
. Como
seu determinante é
Logo
Passo 5
Portanto as expressões são
$$x(u,v)=\mu+\frac{c,u - b,v}{ac-b^2},\quad
y(u,v)=\omega+\frac{-b,u + a,v}{ac-b^2}.$$
O Jacobiano da transformação é o determinante da matriz de derivadas parciais, que é justamente
.
O Jacobiano da transformação
Passo 6
Usando a propriedade de determinantes,
$$J=\det\Bigl(\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)}\Bigr)=\det(M^{-1})=\frac{1}{\det M}=\frac{1}{ac-b^2}.
$$
Resposta
O Jacobiano da transformação é