Localize e classifique os pontos críticos da função z=f(x, y) e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
z=1-x^2-2 y^2.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
z = 1 – x^{2} – 2y^{2} e verificar se há extremos absolutos no domínio inteiro (ℝ^{2}). Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificá-los.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
– Para x:
fx = partialpartial x(1 x^2 2y^2) = 2x
– Para y:
fy = partialpartial y(1 x^2 2y^2) = 4y
Igualando f_x = 0 e f_y = 0, obtemos:
2x = 0 Rightarrow x = 0,
4y = 0 Rightarrow y = 0
Logo, há um único ponto crítico em (0,0).

Passo 3

Agora vamos ao teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
fxx = partialpartial x(2x) = 2,
fyy = partialpartial y(4y) = 4,
fxy = partialpartial y(2x) = 0
Formamos a Hessiana e seu determinante D:
D = fxx,fyy (fxy)^2 = (2)(4) 0^2 = 8 > 0
Como D > 0 e f_{xx} = –2 < 0, pelo teste temos um ponto de máximo local em (0,0).

Passo 4

Agora calculamos o valor da função nesse ponto:
f(0,0) = 1 0^2 2cdot0^2 = 1
Portanto, o ponto (0,0) é um máximo local com z = 1.

Passo 5

Para checar extremos absolutos no domínio ℝ^{2}, observamos que z = 1 – x^{2} – 2y^{2} tende a –∞ quando |x| ou |y| → ∞, então não há mínimo absoluto. Como o maior valor que f assume é 1 em (0,0) e não há outro ponto que supere isso, esse máximo local é também máximo absoluto.

Resposta

Ponto crítico: (0,0). É um máximo local (e global) com z = 1. Não há mínimo absoluto no domínio.

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