Localize e classifique os pontos críticos da função
e determine se ela tem pontos absolutos em seu domínio.
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Passo 1
O enunciado pede para encontrar e classificar os pontos críticos de
z = 1 – x^{2} – 2y^{2} e verificar se há extremos absolutos no domínio inteiro (ℝ^{2}). Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificá-los.
z = 1 – x^{2} – 2y^{2} e verificar se há extremos absolutos no domínio inteiro (ℝ^{2}). Vamos usar derivadas parciais para achar os pontos críticos e o teste da segunda derivada (Hessiana) para classificá-los.
Passo 2
Primeiro calculamos as derivadas parciais de f(x,y):
– Para x:
– Para y:
Igualando f_x = 0 e f_y = 0, obtemos:
Logo, há um único ponto crítico em (0,0).
Passo 3
Agora vamos ao teste da segunda derivada. Calculamos as segundas derivadas:
Formamos a Hessiana e seu determinante D:
Como D > 0 e f_{xx} = –2 < 0, pelo teste temos um ponto de máximo local em (0,0).
Passo 4
Agora calculamos o valor da função nesse ponto:
Portanto, o ponto (0,0) é um máximo local com z = 1.
Passo 5
Para checar extremos absolutos no domínio ℝ^{2}, observamos que z = 1 – x^{2} – 2y^{2} tende a –∞ quando |x| ou |y| → ∞, então não há mínimo absoluto. Como o maior valor que f assume é 1 em (0,0) e não há outro ponto que supere isso, esse máximo local é também máximo absoluto.
Resposta
Ponto crítico: (0,0). É um máximo local (e global) com z = 1. Não há mínimo absoluto no domínio.