Determine o máximo e o mínimo absolutos de z=f(x, y) no conjunto D indicado:
z=x+y, D é o quadrado de vértices ( pm 1, pm 1)

Passo 1

Resumindo: queremos os extremos absolutos da função f(x,y)=x+y no domínio D, quadrado com vértices (pm1,pm1). Aplica-se o Teorema do Valor Extremo para funções contínuas em conjuntos compactos, buscando pontos críticos no interior e avaliando a fronteira.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais: partial fpartial x=1 e partial fpartial y=1. Como nabla fneq 0 em nenhum ponto, não há extremos no interior de D.

Passo 3

Pela continuidade de f e compacidade de D, os extremos ficam na fronteira. Como f é linear, seu máximo e mínimo em cada aresta ocorrem nos vértices do quadrado.

Passo 4

Avaliar f nos vértices.
f(1,1)=2, f(1,-1)=0, f(-1,1)=0, f(-1,-1)=-2

Resposta

O máximo absoluto é 2, atingido em (1,1), e o mínimo absoluto é -2, atingido em (-1,-1).

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