Determine o máximo e o mínimo absolutos de z=f(x, y) no conjunto D indicado:

Passo 1

No enunciado, a gente precisa otimizar f(x,y)=xy no conjunto compacto D=(x,y)inR^2:2x^2+y^2<=1. O assunto é extremos de funções de duas variáveis em conjunto fechado e vamos usar gradiente e multiplicadores de Lagrange.

Passo 2

Procurar pontos críticos no interior de D: calculamos o gradiente nabla f=(y,x) e anulamos as componentes. Temos y=0 e x=0, ou seja o único candidato interno é (0,0), onde f(0,0)=0.

Passo 3

Agora tratamos a fronteira 2x^2+y^2=1 usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a restrição g(x,y)=2x^2+y^2-1 e escrevemos nabla f=lambdanabla g. Isso gera o sistema
y=4lambda x, x=2lambda y, 2x^2+y^2=1

Passo 4

Do sistema, se xneq0 isolamos lambda=y/(4x) e substituímos em x=2lambda y, obtendo x=y^2/(2x) ou 2x^2=y^2. Combinando com 2x^2+y^2=1 resulta em 4x^2=1 e y^2=1/2. Logo x=pm1/2 e y=pm1/raiz2, dando quatro candidatos.

Passo 5

Avaliamos f nesses pontos:
f(1/2,1/raiz2)=1/(2raiz2),
f(-1/2,-1/raiz2)=1/(2raiz2),
f(1/2,-1/raiz2)=-1/(2raiz2),
f(-1/2,1/raiz2)=-1/(2raiz2).
Comparando com f(0,0)=0, concluímos que o máximo absoluto é 1/(2raiz2) e o mínimo absoluto é -1/(2raiz2).

Resposta

O máximo absoluto vale 1/(2raiz2) e o mínimo absoluto vale -1/(2raiz2).

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