Determine o máximo e o mínimo absolutos de no conjunto indicado:
Passo 1
No enunciado, a gente precisa otimizar no conjunto compacto . O assunto é extremos de funções de duas variáveis em conjunto fechado e vamos usar gradiente e multiplicadores de Lagrange.
Passo 2
Procurar pontos críticos no interior de : calculamos o gradiente e anulamos as componentes. Temos e , ou seja o único candidato interno é , onde .
Passo 3
Agora tratamos a fronteira usando o método dos multiplicadores de Lagrange. Definimos a restrição e escrevemos . Isso gera o sistema
Passo 4
Do sistema, se xneq0 isolamos lambda=y/(4x) e substituímos em x=2lambda y, obtendo x=y^2/(2x) ou 2x^2=y^2. Combinando com 2x^2+y^2=1 resulta em 4x^2=1 e y^2=1/2. Logo x=pm1/2 e y=pm1/raiz2, dando quatro candidatos.
Passo 5
Avaliamos f nesses pontos: f(1/2,1/raiz2)=1/(2raiz2), f(-1/2,-1/raiz2)=1/(2raiz2), f(1/2,-1/raiz2)=-1/(2raiz2), f(-1/2,1/raiz2)=-1/(2raiz2).
Comparando com f(0,0)=0, concluímos que o máximo absoluto é 1/(2raiz2) e o mínimo absoluto é -1/(2raiz2).
Resposta
O máximo absoluto vale 1/(2raiz2) e o mínimo absoluto vale -1/(2raiz2).