Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
p(x, y)=K e^-12(r-m)^T A(r-m)
em que r=(x, y)^T, m=(mu, omega)^T é o vetor com os valores da média ( mu e omega são constantes) e A=M^T M é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Usando coordenadas polares determine a constante M=[ll a & b b & c ] para que
K

Passo 1

O enunciado pede a constante de normalização de uma Gaussiana bi‐dimensional
p(x,y)=K e^{-\tfrac12 (\mathbf r-\mathbf m)^T A (\mathbf r-\mathbf m)} de modo que
\iint_{\mathbb R^2}p(x,y),dx,dy=1. Aqui o conteúdo é integração de uma forma quadrática em duas variáveis e vamos precisar usar mudança de variáveis linear (para diagonalizar A) e coordenadas polares.

Passo 2

Primeiro, deslocamos a origem para o centro da Gaussiana definindo
u= r- m
Como a integral sobre todo R^2 é invariante a translações, temos
$$
\iint_{\mathbb R2}e{-\tfrac12(\mathbf r-\mathbf m)^T A(\mathbf r-\mathbf m)}dx,dy
=\iint_{\mathbb R2}e{-\tfrac12\mathbf u^T A\mathbf u}du_x,du_y.
$$

Passo 3

Em seguida, como A é simétrica e definida positiva, existe M invertível tal que A=M^T M.
Fazemos a mudança de variável linear
q=M u,
cuja Jacobiana é dux,duy=dq1,dq2det M.
No novo vetor q=(q1,q2) a forma quadrática vira u^T A u= q^T q=q1^2+q2^2

Passo 4

Substituindo na integral de normalização:
1=Kintegral dupla R^2e^-tfrac12( r- m)^T A( r- m)dx,dy =K1det Mintegral dupla R^2e^-tfrac12(q1^2+q2^2)dq1,dq2
Agora usamos coordenadas polares em (q1,q2):
q1=rhocostheta, q2=rhosintheta, dq1,dq2=rho,drho,dtheta

Passo 5

A integral fica
1=K1det Mintegral0^2piintegral0^inftye^-tfrac12rho^2rho,drho,dtheta =K1det Mgl(2pigr)underbraceintegral0^inftye^-tfrac12rho^2rho,drho=1 =K2pidet M
Da qual obtemos
K=det M2pi

Resposta

K=dfracdet M2pi=dfracac-b^22pi

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