Considere a probabilidade Gaussiana bi-dimensional dada por
em que
é o vetor com os valores da média (
e
são constantes) e
é uma matriz 2 x 2 simétrica com autovalores positivos tal que
Usando coordenadas polares determine a constante
para que
Passo 1
O enunciado pede a constante de normalização de uma Gaussiana bi‐dimensional
p(x,y)=K e^{-\tfrac12 (\mathbf r-\mathbf m)^T A (\mathbf r-\mathbf m)} de modo que
\iint_{\mathbb R^2}p(x,y),dx,dy=1. Aqui o conteúdo é integração de uma forma quadrática em duas variáveis e vamos precisar usar mudança de variáveis linear (para diagonalizar A) e coordenadas polares.
p(x,y)=K e^{-\tfrac12 (\mathbf r-\mathbf m)^T A (\mathbf r-\mathbf m)} de modo que
\iint_{\mathbb R^2}p(x,y),dx,dy=1. Aqui o conteúdo é integração de uma forma quadrática em duas variáveis e vamos precisar usar mudança de variáveis linear (para diagonalizar A) e coordenadas polares.
Passo 2
Primeiro, deslocamos a origem para o centro da Gaussiana definindo
Como a integral sobre todo
$$
\iint_{\mathbb R2}e{-\tfrac12(\mathbf r-\mathbf m)^T A(\mathbf r-\mathbf m)}dx,dy
=\iint_{\mathbb R2}e{-\tfrac12\mathbf u^T A\mathbf u}du_x,du_y.
=\iint_{\mathbb R2}e{-\tfrac12\mathbf u^T A\mathbf u}du_x,du_y.
$$
Passo 3
Em seguida, como
é simétrica e definida positiva, existe M invertível tal que
.
Fazemos a mudança de variável linear
Fazemos a mudança de variável linear
cuja Jacobiana é
No novo vetor
Passo 4
Substituindo na integral de normalização:
Agora usamos coordenadas polares em
:
Passo 5
A integral fica
Da qual obtemos