Determine o máximo e o mínimo absolutos de
no conjunto
indicado:
Passo 1
O problema pede para encontrar o máximo e o mínimo absolutos de z = x e^{−x} cos y no retângulo D = [−1,1]×[−π,π]. Vamos usar cálculo multivariável: derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois analisar as bordas.
Passo 2
Primeiro, calculamos as derivadas parciais. Para ∂f/∂x temos
e para ∂f/∂y
Passo 3
Anulando ambas:
• ⇒ ou
(x=1) ou
(y=±π/2).
• ⇒ ou
ou
(y=0,±π).
Em conjunto só há pontos críticos no interior (−1,1)×(−π,π) quando x=0 e y=±π/2.
Avaliamos f nesses pontos:
•
•
Em conjunto só há pontos críticos no interior (−1,1)×(−π,π) quando x=0 e y=±π/2.
Avaliamos f nesses pontos:
Passo 4
Agora examinamos as bordas do retângulo.
- x=−1, y∈[−π,π]:
Como cos y∈[−1,1], f varia de −e·1=−e até −e·(−1)=e. Logo em y=0 dá f=−e e em y=±π dá f=e.
2) x=1, y∈[−π,π]:
2) x=1, y∈[−π,π]:
Varia de −e^{-1} (em y=±π) até e^{-1} (em y=0).
3) y=0, x∈[−1,1]:
3) y=0, x∈[−1,1]:
O seu derivado é e^{-x}(1−x), nulo em x=1. Avaliando em x=−1,0,1 dá f=−e,0,e^{-1}.
4) y=π (ou y=−π), x∈[−1,1]:
4) y=π (ou y=−π), x∈[−1,1]:
Derivada −e^{-x}(1−x)=0 em x=1. Em x=−1,0,1 obtemos f=e,0,−e^{-1}.
Passo 5
Reunindo todos os valores candidatos: e, e{-1},0,−e{-1},−e. O maior é e e o menor é −e.
O valor e ocorre em (x,y) = (−1,±π) e o valor −e ocorre em (x,y)=(−1,0).
O valor e ocorre em (x,y) = (−1,±π) e o valor −e ocorre em (x,y)=(−1,0).
Resposta
O máximo absoluto é
, atingido em
e
. O mínimo absoluto é
, atingido em
.