Determine o máximo e o mínimo absolutos de z=f(x, y) no conjunto D indicado:
z=x e^-x cos y, D=[-1,1] times[-pi, pi]

Passo 1

O problema pede para encontrar o máximo e o mínimo absolutos de z = x e^{−x} cos y no retângulo D = [−1,1]×[−π,π]. Vamos usar cálculo multivariável: derivadas parciais para achar pontos críticos no interior e depois analisar as bordas.

Passo 2

Primeiro, calculamos as derivadas parciais. Para ∂f/∂x temos
partial fpartial x = e^-xcos y ,(1 - x),
e para ∂f/∂y
partial fpartial y = -x e^-x sin y

Passo 3

Anulando ambas:
e^-x(1-x)cos y=0 ⇒ ou 1-x=0 (x=1) ou cos y=0 (y=±π/2).
-x e^-xsin y=0 ⇒ ou x=0 ou sin y=0 (y=0,±π).
Em conjunto só há pontos críticos no interior (−1,1)×(−π,π) quando x=0 e y=±π/2.
Avaliamos f nesses pontos:
f(0,±π/2)=0·e^0cos(±π/2)=0

Passo 4

Agora examinamos as bordas do retângulo.
  1. x=−1, y∈[−π,π]:
f(-1,y) = -1·e^1cos y = -ecos y
Como cos y∈[−1,1], f varia de −e·1=−e até −e·(−1)=e. Logo em y=0 dá f=−e e em y=±π dá f=e.
2) x=1, y∈[−π,π]:
f(1,y) = 1·e^-1cos y = e^-1cos y
Varia de −e^{-1} (em y=±π) até e^{-1} (em y=0).
3) y=0, x∈[−1,1]:
f(x,0)=x e^-x
O seu derivado é e^{-x}(1−x), nulo em x=1. Avaliando em x=−1,0,1 dá f=−e,0,e^{-1}.
4) y=π (ou y=−π), x∈[−1,1]:
f(x,π)= -x e^-x
Derivada −e^{-x}(1−x)=0 em x=1. Em x=−1,0,1 obtemos f=e,0,−e^{-1}.

Passo 5

Reunindo todos os valores candidatos: e, e{-1},0,−e{-1},−e. O maior é e e o menor é −e.
O valor e ocorre em (x,y) = (−1,±π) e o valor −e ocorre em (x,y)=(−1,0).

Resposta

O máximo absoluto é e, atingido em (x,y)=(-1,pi) e (x,y)=(-1,-pi). O mínimo absoluto é -e, atingido em (x,y)=(-1,0).

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