Determine o máximo e o mínimo absolutos de z=f(x, y) no conjunto D indicado:

Passo 1

A questão pede para encontrar os extremos absolutos de uma função de duas variáveis com domínio compacto. Aqui temos f(x,y)= 1/(x^2+y^2) e o domínio D é o disco (x-2)^2+y^2<=1. Vamos usar teoria de extremos em funções de várias variáveis: como f é contínua em D fechado e limitado, ela atinge máximo e mínimo em D.

Passo 2

Primeiro, procuramos críticos no interior de D. Calculando o gradiente de f:
nabla f(x,y)=(-2x(x^2+y^2)^2,,-2y(x^2+y^2)^2)

Passo 3

Para ter nabla f=0 precisaríamos de x=0 e y=0, mas (0,0) não pertence a D (fica a 2 unidades do centro (2,0) e o raio vale 1). Logo não há extremos internos.

Passo 4

Sobram então apenas possíveis extremos na fronteira do disco, onde (x-2)^2+y^2=1. Vamos parametrizar essa fronteira:
x=2+costheta, y=sintheta,thetain[0,2pi]

Passo 5

Assim
x^2+y^2=(2+costheta)^2+sin^2theta=4+4costheta+cos^2theta+sin^2theta=5+4costheta

Passo 6

Logo, na fronteira a função vira
f(theta)=15+4costheta

Passo 7

Para achar extremos de f(theta) basta analisar o denominador. Ele é mínimo quando costheta=-1, ou seja, denom=1, e máximo quando costheta=1, denom=9.
Isso dá o máximo de f em 1 (ocorre em theta=pi, ponto (1,0)) e o mínimo de f em 1/9 (ocorre em theta=0, ponto (3,0)).

Resposta

Máximo absoluto de z: 1 (em (1,0)). Mínimo absoluto de z: 1/9 (em (3,0)).

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