Determine o máximo e o mínimo absolutos de
no conjunto
indicado:
Passo 1
A questão pede para encontrar os extremos absolutos de uma função de duas variáveis com domínio compacto. Aqui temos f(x,y)=
e o domínio D é o disco
. Vamos usar teoria de extremos em funções de várias variáveis: como f é contínua em D fechado e limitado, ela atinge máximo e mínimo em D.
Passo 2
Primeiro, procuramos críticos no interior de D. Calculando o gradiente de f:
Passo 3
Para ter
precisaríamos de
e
, mas
não pertence a D (fica a 2 unidades do centro (2,0) e o raio vale 1). Logo não há extremos internos.
Passo 4
Sobram então apenas possíveis extremos na fronteira do disco, onde
. Vamos parametrizar essa fronteira:
Passo 5
Assim
Passo 6
Logo, na fronteira a função vira
Passo 7
Para achar extremos de
basta analisar o denominador. Ele é mínimo quando
, ou seja, denom=1, e máximo quando
, denom=9.
Isso dá o máximo de f em 1 (ocorre em , ponto
) e o mínimo de f em 1/9 (ocorre em
, ponto
).
Isso dá o máximo de f em 1 (ocorre em
Resposta
Máximo absoluto de z:
(em
). Mínimo absoluto de z:
(em
).