Determine o máximo e o mínimo absolutos de
no conjunto
indicado:
.
Passo 1
O enunciado pede pra gente achar os extremos (máximo e mínimo absolutos) da função
sobre o disco fechado
. Isso é um problema de extremos em conjunto compacto, então vamos usar: 1) pontos críticos internos (
) e 2) análise na fronteira (
).
Passo 2
Calculamos as derivadas parciais para achar pontos críticos internos. Temos
Igualando a zero, obtemos
e
. Esse ponto está dentro de
pois
. Avaliamos ali:
Passo 3
Agora vamos à fronteira
. Podemos escrever
,
ou simplesmente notar que em
vale
Definimos
para
. Derivando,
Esse ponto dá
Nos extremos de intervalo temos
Passo 4
Finalmente comparamos os valores: interior deu
, na fronteira os valores são
. Logo o mínimo absoluto é
, ocorrido em
, e o máximo absoluto é
, ocorrido em
.
Resposta
Mínimo absoluto:
. Máximo absoluto:
.