Determine o máximo e o mínimo absolutos de z=f(x, y) no conjunto D indicado:
.

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os extremos (máximo e mínimo absolutos) da função f(x,y)=x^2+2y^2 - x sobre o disco fechado D:,x^2+y^2<=1. Isso é um problema de extremos em conjunto compacto, então vamos usar: 1) pontos críticos internos ( nabla f=0) e 2) análise na fronteira ( x^2+y^2=1).

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para achar pontos críticos internos. Temos
partial fpartial x=2x-1, partial fpartial y=4y
Igualando a zero, obtemos x=1/2 e y=0. Esse ponto está dentro de D pois (1/2)^2+0^2=1/4<=1. Avaliamos ali:
fl(tfrac12,0r)=l(tfrac12r)^2-tfrac12=tfrac14-tfrac12=-tfrac14

Passo 3

Agora vamos à fronteira x^2+y^2=1. Podemos escrever x=cos t, y=sin t ou simplesmente notar que em x^2+y^2=1 vale
f= x^2+2(1-x^2)-x = 2 - x^2 - x
Definimos h(x)=2-x^2 - x para xin[-1,1]. Derivando,
h'(x)=-2x-1=0implies x=-tfrac12
Esse ponto dá
h(-tfrac12)=2-tfrac14+tfrac12=tfrac94
Nos extremos de intervalo temos
h(1)=2-1-1=0, h(-1)=2-1+1=2

Passo 4

Finalmente comparamos os valores: interior deu -1/4, na fronteira os valores são 0,,2,,9/4. Logo o mínimo absoluto é -1/4, ocorrido em (1/2,0), e o máximo absoluto é 9/4, ocorrido em (-1/2,pmraiz3/2).

Resposta

Mínimo absoluto: f(1/2,0)=-1/4. Máximo absoluto: f(-1/2,pmraiz3/2)=9/4.

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