- Considere o problema de autovalores para a equação de Euler-Cauchy
com condições de contorno
Determine todos os autovalores
para os quais existe solução não-trivial e as autofunções correspondentes. (Dica: A equação é uma Equação de Euler-Cauchy).
Passo 1
O enunciado fornece a equação diferencial
com condições de contorno
A tarefa é: determinar todos os valores de
para os quais existe solução não-trivial (autovalores) e encontrar as correspondentes autofunções. Lista de informações importantes dadas pelo enunciado:
- A equação vale no intervalo
. - As condições de contorno são
e . - Procuramos valores
tais que exista solução . - O enunciado dá a dica de que a equação é especial (é uma equação com coeficientes em potências de
).
Passo 2
Vamos procurar soluções do tipo potência, isto é, tentar uma solução da forma
onde
é uma constante a determinar. Essa escolha é natural quando os coeficientes da EDO são monômios em
, porque as derivadas de
têm forma simples. Calculemos as derivadas:
Substituindo na equação dada temos
Simplificando cada termo (todos são múltiplos de
) obtemos
Como
para
, a parte entre parênteses deve ser zero, isto é,
Essa é a equação característica para
.
Passo 3
A equação característica é
Devemos analisar os três casos possíveis para
:
,
e
. Cada caso dá tipos diferentes de soluções gerais da EDO; vamos estudá-los separadamente e aplicar as condições de contorno para ver quando aparecem soluções não-triviais.
Passo 4
Caso
. Então
e
é raiz dupla. Para raiz dupla da equação característica da forma
a solução geral é
onde
são constantes. Impomos as condições de contorno:
- Em
: , então . - Em
: , então . Como já , isto dá .
Portanto apenas a solução trivialsatisfaz as BCs quando . Conclusão: não é autovalor.
Passo 5
Caso
. Defina
tal que
Então as raízes da característica são
(complexas conjugadas). Para raízes complexas
a solução real geral é combinação linear de
e
. Aqui
e
, portanto a solução geral real é
com constantes reais
. Observação útil:
, daí a forma acima.
Aplique as condições de contorno:
- Em
: então
Como
, temos
.
- Com
, a solução reduz-se a
Impondo
e usando
obtém-se
Para existir solução não-trivial precisamos
, logo é necessário
. Assim
deve ser um múltiplo inteiro de
:
(Nota:
corresponderia a
e
, caso já descartado.) Portanto os autovalores são
e as autofunções (até constante multiplicativa) são
(escolhemos a forma com coeficiente
apenas para apresentação; qualquer múltiplo não nulo também é solução).
Passo 6
Caso
. Escreva
com
. Então as raízes da característica são
(reais e diferentes). A solução geral é
Impondo
dá
Logo
Impondo
obtemos
Para ter solução não-trivial precisamos
, então seria necessário
, isto é
, o que implica
. Mas
por construção, contradição. Portanto não existem autovalores com
.
Passo 7
Conclusão final: os únicos autovalores que admitem solução não-trivial são
e as correspondentes autofunções (até constante multiplicativa) são