1. Considere o problema de autovalores para a equação de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+x y^{\prime}+\lambda y=0, \quad x \in[1, e]
com condições de contorno
y(1)=0, \quad y(e)=0 .
Determine todos os autovalores \lambda para os quais existe solução não-trivial e as autofunções correspondentes. (Dica: A equação é uma Equação de Euler-Cauchy).

Passo 1

O enunciado fornece a equação diferencial
x^{2}y''+x y'+\lambda y=0,\qquad x\in[1,e]
com condições de contorno
y(1)=0,\qquad y(e)=0.
A tarefa é: determinar todos os valores de \lambda para os quais existe solução não-trivial (autovalores) e encontrar as correspondentes autofunções. Lista de informações importantes dadas pelo enunciado:
  • A equação vale no intervalo [1,e].
  • As condições de contorno são y(1)=0 e y(e)=0.
  • Procuramos valores \lambda tais que exista solução y\not\equiv0.
  • O enunciado dá a dica de que a equação é especial (é uma equação com coeficientes em potências de x).

Passo 2

Vamos procurar soluções do tipo potência, isto é, tentar uma solução da forma
y(x)=x^{m},
onde m é uma constante a determinar. Essa escolha é natural quando os coeficientes da EDO são monômios em x, porque as derivadas de x^{m} têm forma simples. Calculemos as derivadas:
y'(x)=m x^{m-1},\qquad y''(x)=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo na equação dada temos
x^{2}\big(m(m-1)x^{m-2}\big)+x\big(m x^{m-1}\big)+\lambda x^{m}=0.
Simplificando cada termo (todos são múltiplos de x^{m}) obtemos
\big(m(m-1)+m+\lambda\big)x^{m}=0.
Como x^{m}\neq0 para x\in[1,e], a parte entre parênteses deve ser zero, isto é,
m^{2}+\lambda=0.
Essa é a equação característica para m.

Passo 3

A equação característica é
m^{2}+\lambda=0.
Devemos analisar os três casos possíveis para \lambda: \lambda=0, \lambda>0 e \lambda<0. Cada caso dá tipos diferentes de soluções gerais da EDO; vamos estudá-los separadamente e aplicar as condições de contorno para ver quando aparecem soluções não-triviais.

Passo 4

Caso \lambda=0. Então m^{2}=0 e m=0 é raiz dupla. Para raiz dupla da equação característica da forma m=0 a solução geral é
y(x)=C_{1}x^{0}+C_{2}x^{0}\ln x = C_{1}+C_{2}\ln x,
onde C_{1},C_{2} são constantes. Impomos as condições de contorno:
  • Em x=1: \ln 1=0, então y(1)=C_{1}=0.
  • Em x=e: \ln e=1, então y(e)=C_{1}+C_{2}\cdot1=0. Como já C_{1}=0, isto dá C_{2}=0.
    Portanto apenas a solução trivial y\equiv0 satisfaz as BCs quando \lambda=0. Conclusão: \lambda=0 não é autovalor.

Passo 5

Caso \lambda>0. Defina \mu>0 tal que
\lambda=\mu^{2}.
Então as raízes da característica são m=\pm i\mu (complexas conjugadas). Para raízes complexas m=\alpha\pm i\beta a solução real geral é combinação linear de x^{\alpha}\cos(\beta\ln x) e x^{\alpha}\sin(\beta\ln x). Aqui \alpha=0 e \beta=\mu, portanto a solução geral real é
y(x)=A\cos\big(\mu\ln x\big)+B\sin\big(\mu\ln x\big),
com constantes reais A,B. Observação útil: x^{i\mu}=e^{i\mu\ln x}=\cos(\mu\ln x)+i\sin(\mu\ln x), daí a forma acima.
Aplique as condições de contorno:
  • Em x=1: \ln 1=0 então
y(1)=A\cos 0 + B\sin 0 = A\cdot 1 + B\cdot 0 = A.
Como y(1)=0, temos A=0.
  • Com A=0, a solução reduz-se a
y(x)=B\sin\big(\mu\ln x\big).
Impondo y(e)=0 e usando \ln e=1 obtém-se
y(e)=B\sin(\mu\cdot 1)=B\sin\mu=0.
Para existir solução não-trivial precisamos B\neq0, logo é necessário \sin\mu=0. Assim \mu deve ser um múltiplo inteiro de \pi:
\mu=n\pi,\qquad n\in\{1,2,3,\dots\}.
(Nota: n=0 corresponderia a \mu=0 e \lambda=0, caso já descartado.) Portanto os autovalores são
\lambda_{n}=\mu^{2}=(n\pi)^{2}=n^{2}\pi^{2},\qquad n=1,2,3,\dots
e as autofunções (até constante multiplicativa) são
y_{n}(x)=\sin\big(n\pi\ln x\big),\qquad n=1,2,3,\dots
(escolhemos a forma com coeficiente B=1 apenas para apresentação; qualquer múltiplo não nulo também é solução).

Passo 6

Caso \lambda<0. Escreva \lambda=-\alpha^{2} com \alpha>0. Então as raízes da característica são m=\pm\alpha (reais e diferentes). A solução geral é
y(x)=C_{1}x^{\alpha}+C_{2}x^{-\alpha}.
Impondo y(1)=0
y(1)=C_{1}+C_{2}=0\quad\Rightarrow\quad C_{2}=-C_{1}.
Logo
y(x)=C_{1}\big(x^{\alpha}-x^{-\alpha}\big).
Impondo y(e)=0 obtemos
y(e)=C_{1}\big(e^{\alpha}-e^{-\alpha}\big)=0.
Para ter solução não-trivial precisamos C_{1}\neq0, então seria necessário e^{\alpha}-e^{-\alpha}=0, isto é e^{2\alpha}=1, o que implica \alpha=0. Mas \alpha>0 por construção, contradição. Portanto não existem autovalores com \lambda<0.

Passo 7

Conclusão final: os únicos autovalores que admitem solução não-trivial são
\lambda_{n}=n^{2}\pi^{2},\qquad n=1,2,3,\dots
e as correspondentes autofunções (até constante multiplicativa) são
y_{n}(x)=\sin\big(n\pi\ln x\big),\qquad n=1,2,3,\dots

Resposta

\lambda_{n}=n^{2}\pi^{2},\; n=1,2,3,\dots
y_{n}(x)=\sin\big(n\pi\ln x\big),\; n=1,2,3,\dots

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