Resolva (caso exista solução) os problemas de Valores de Contorno dados abaixo:
y^{\prime \prime}+\lambda y=0, y(0)=y(L)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver (quando existir solução) o problema de valores de contorno:
y''+\lambda y=0,\qquad y(0)=y(L)=0.
Informações dadas:
\lambda é um parâmetro real (pode ser positivo, zero ou negativo).\n
As condições de contorno são homogêneas em x=0 e x=L.\n
O que se quer descobrir: para quais valores de \lambda existem soluções não-triviais y(x) (isto é, além da solução identicamente nula) e quais são essas soluções.

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é assumir uma solução do tipo exponencial e encontrar a equação característica. Seja \lambda qualquer real; escrevemos a equação característica associada:
r^{2}+\lambda=0.
As raízes r dependem do sinal de \lambda. Vou analisar os três casos distintos: \lambda<0, \lambda=0 e \lambda>0. Para cada caso encontrarei a solução geral da EDO e aplicarei as condições y(0)=0 e y(L)=0.

Passo 3

Caso \lambda<0. Escrevemos \lambda=-\mu^{2} com \mu>0. A equação característica fica
r^{2}-\mu^{2}=0,
cuja solução é r=\pm\mu. A solução geral da EDO é
y(x)=C_{1}e^{\mu x}+C_{2}e^{-\mu x}.
Aplicamos as condições de contorno. Em x=0:
y(0)=C_{1}+C_{2}=0 \quad\Rightarrow\quad C_{2}=-C_{1}.
Logo
y(x)=C_{1}\big(e^{\mu x}-e^{-\mu x}\big)=2C_{1}\operatorname{sinh}(\mu x).
Agora em x=L:
y(L)=2C_{1}\operatorname{sinh}(\mu L)=0.
Como \operatorname{sinh}(\mu L)\neq 0 para \mu>0, concluímos que C_{1}=0. Assim a única solução é y\equiv 0. Portanto, para \lambda<0 não há soluções não-triviais.

Passo 4

Caso \lambda=0. A equação vira y''=0. Integramos duas vezes:
y(x)=A+Bx,
com constantes A,B. Aplicando y(0)=0 obtemos A=0. Aplicando y(L)=0 obtemos B L=0, logo B=0. Portanto novamente y\equiv 0. Assim, para \lambda=0 não existem soluções não-triviais.

Passo 5

Caso \lambda>0. Escrevemos \lambda=k^{2} com k>0. A equação característica é
r^{2}+k^{2}=0,
com raízes complexas r=\pm ik. A solução real geral é
y(x)=C_{1}\cos(kx)+C_{2}\sin(kx).
Aplicando y(0)=0 temos
y(0)=C_{1}=0.
Logo
y(x)=C_{2}\sin(kx).
Aplicando y(L)=0:
y(L)=C_{2}\sin(kL)=0.
Para obter uma solução não-trivial precisamos de C_{2}\neq 0. Então deve ocorrer
\sin(kL)=0.
As raízes de \sin são kL=n\pi para algum inteiro n. Tomamos n\in\mathbb{Z}. Note que n=0 k=0 (o que corresponde ao caso \lambda=0 já tratado e que leva só à solução trivial), e valores negativos de n apenas mudam o sinal de k que já tomamos positivo. Portanto os valores relevantes são n=1,2,3,\dots. Assim
k=\frac{n\pi}{L},\qquad n=1,2,3,\dots
e os autovalores são
\lambda_{n}=k^{2}=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2},\qquad n=1,2,3,\dots
As soluções (autofunções) correspondentes, com constante de normalização A_n, são
y_{n}(x)=A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right).
Qualquer múltiplo constante é também solução; geralmente escolhemos A_{n} para normalizar se necessário.

Passo 6

Resumo e interpretação didática (por que só esses \lambda funcionam). O problema é um problema de autovalores: buscamos \lambda para os quais o operador y\mapsto -y'' com as condições de Dirichlet tem soluções não-triviais. As soluções oscilatórias \sin e \cos aparecem quando \lambda>0; as condições de contorno forçam o cosseno a zero em x=0 e fazem a seno ter zeros adicionais em x=L. Isso quantiza k em múltiplos de \pi/L, produzindo a sequência discreta de \lambda_{n}. Nos outros casos ( \lambda\le 0) a solução não pode satisfazer simultaneamente as duas condições sem ser nula.

Resposta

\displaystyle \lambda_{n}=\left(\frac{n\pi}{L}\right)^{2},\qquad n=1,2,3,\dots\n
\displaystyle y_{n}(x)=A_{n}\sin\!\left(\frac{n\pi}{L}x\right),\qquad n=1,2,3,\dots

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