Resolva (caso exista solução) os problemas de Valores de Contorno dados abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para resolver (quando existir solução) o problema de valores de contorno:
Informações dadas:
é um parâmetro real (pode ser positivo, zero ou negativo).\n
As condições de contorno são homogêneas em e
.\n
O que se quer descobrir: para quais valores de existem soluções não-triviais
(isto é, além da solução identicamente nula) e quais são essas soluções.
As condições de contorno são homogêneas em
O que se quer descobrir: para quais valores de
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes. A técnica padrão é assumir uma solução do tipo exponencial e encontrar a equação característica. Seja
qualquer real; escrevemos a equação característica associada:
As raízes
dependem do sinal de
. Vou analisar os três casos distintos:
,
e
. Para cada caso encontrarei a solução geral da EDO e aplicarei as condições
e
.
Passo 3
Caso
. Escrevemos
com
. A equação característica fica
cuja solução é
. A solução geral da EDO é
Aplicamos as condições de contorno. Em
:
Logo
Agora em
:
Como
para
, concluímos que
. Assim a única solução é
. Portanto, para
não há soluções não-triviais.
Passo 4
Caso
. A equação vira
. Integramos duas vezes:
com constantes
. Aplicando
obtemos
. Aplicando
obtemos
, logo
. Portanto novamente
. Assim, para
não existem soluções não-triviais.
Passo 5
Caso
. Escrevemos
com
. A equação característica é
com raízes complexas
. A solução real geral é
Aplicando
temos
Logo
Aplicando
:
Para obter uma solução não-trivial precisamos de
. Então deve ocorrer
As raízes de
são
para algum inteiro
. Tomamos
. Note que
dá
(o que corresponde ao caso
já tratado e que leva só à solução trivial), e valores negativos de
apenas mudam o sinal de
que já tomamos positivo. Portanto os valores relevantes são
. Assim
e os autovalores são
As soluções (autofunções) correspondentes, com constante de normalização
, são
Qualquer múltiplo constante é também solução; geralmente escolhemos
para normalizar se necessário.
Passo 6
Resumo e interpretação didática (por que só esses
funcionam). O problema é um problema de autovalores: buscamos
para os quais o operador
com as condições de Dirichlet tem soluções não-triviais. As soluções oscilatórias
e
aparecem quando
; as condições de contorno forçam o cosseno a zero em
e fazem a seno ter zeros adicionais em
. Isso quantiza
em múltiplos de
, produzindo a sequência discreta de
. Nos outros casos (
) a solução não pode satisfazer simultaneamente as duas condições sem ser nula.