Calcule o raio de convergência como função de
.
Considere a função
definida pela série dada a seguir:
Considere a função
Passo 1
O enunciado pede para eu calcular o raio de convergência como função de
, ou seja, encontrar
. A série fornecida no enunciado é
Como o enunciado quer
em função de
, vou considerar a família natural que generaliza o termo dado, assumindo que o expoente
no denominador pode ser substituído por um parâmetro real
. Portanto trabalho com a série
onde
é um parâmetro real fixo. O objetivo é determinar o raio de convergência dessa série em função de
. As informações relevantes que tenho são:
- o termo geral é
; - a soma é sobre
de a ; - devo fornecer
como função de .
Passo 2
Transformo a série numa forma padrão de série de potências centrada em algum ponto. Note que
Logo
Posso reescrever a série como
onde defini
Assim estamos diante de uma série de potências centrada em
com coeficientes
.
Passo 3
Vou usar a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência de uma série de potências. Ela diz que, para uma série
, o raio de convergência
é dado por
Explico os termos:
é a raiz enésima do módulo do coeficiente e
é o limite superior quando
(usado porque a raiz enésima pode não ter limite simples). Nosso objetivo agora é calcular
para
.
Passo 4
Calculo a raiz enésima dos coeficientes:
Agora estimo o comportamento de
quando
. Faço isso observando que
Como
cresce como
(fixo) e
, o produto
. Portanto
Consequentemente
Passo 5
Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard:
Interpretação: o raio de convergência em torno do ponto
é
. Em termos do
original, isso significa que a série converge para
, e o raio é independente de
(desde que
seja um número fixo, finito), porque o fator
é subexponencial e não afeta o termo exponencial
que domina a raiz enésima.