Calcule o raio de convergência como função de k, R=R(k).
Considere a função f definida pela série dada a seguir:
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(2 x+1)^{n}}{(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para eu calcular o raio de convergência como função de k, ou seja, encontrar R=R(k). A série fornecida no enunciado é
f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+1)^{n}}{(n+1)^{2}}.
Como o enunciado quer R em função de k, vou considerar a família natural que generaliza o termo dado, assumindo que o expoente 2 no denominador pode ser substituído por um parâmetro real k. Portanto trabalho com a série
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(2x+1)^{n}}{(n+1)^{k}},
onde k é um parâmetro real fixo. O objetivo é determinar o raio de convergência dessa série em função de k. As informações relevantes que tenho são:
  • o termo geral é \dfrac{(2x+1)^{n}}{(n+1)^{k}};
  • a soma é sobre n de 0 a \infty;
  • devo fornecer R como função de k.

Passo 2

Transformo a série numa forma padrão de série de potências centrada em algum ponto. Note que
2x+1 = 2\left(x+\tfrac{1}{2}\right).
Logo
(2x+1)^n = 2^n\left(x+\tfrac{1}{2}\right)^n.
Posso reescrever a série como
\sum_{n=0}^{\infty} a_n \left(x+\tfrac{1}{2}\right)^n,
onde defini
a_n=\frac{2^n}{(n+1)^{k}}.
Assim estamos diante de uma série de potências centrada em x_0=-\tfrac{1}{2} com coeficientes a_n.

Passo 3

Vou usar a fórmula de Cauchy–Hadamard para o raio de convergência de uma série de potências. Ela diz que, para uma série \sum a_n (x-x_0)^n, o raio de convergência R é dado por
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{|a_n|}}.
Explico os termos: \sqrt[n]{|a_n|} é a raiz enésima do módulo do coeficiente e \limsup é o limite superior quando n\to\infty (usado porque a raiz enésima pode não ter limite simples). Nosso objetivo agora é calcular \displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n} para a_n=\dfrac{2^n}{(n+1)^k}.

Passo 4

Calculo a raiz enésima dos coeficientes:
\sqrt[n]{a_n}=\sqrt[n]{\frac{2^n}{(n+1)^k}}=2\cdot (n+1)^{-k/n}.
Agora estimo o comportamento de (n+1)^{-k/n} quando n\to\infty. Faço isso observando que
(n+1)^{-k/n}=\exp\!\big(-\tfrac{k}{n}\ln(n+1)\big).
Como \ln(n+1) cresce como \ln n (fixo) e \tfrac{k}{n}\to 0, o produto \tfrac{k}{n}\ln(n+1)\to 0. Portanto
\lim_{n\to\infty}(n+1)^{-k/n}=\exp(0)=1.
Consequentemente
\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}=\lim_{n\to\infty}2\cdot (n+1)^{-k/n}=2\cdot 1=2.

Passo 5

Aplicando a fórmula de Cauchy–Hadamard:
R=\frac{1}{\displaystyle\limsup_{n\to\infty}\sqrt[n]{a_n}}=\frac{1}{2}.
Interpretação: o raio de convergência em torno do ponto x_0=-\tfrac{1}{2} é \tfrac{1}{2}. Em termos do x original, isso significa que a série converge para |x+\tfrac{1}{2}|<\tfrac{1}{2}, e o raio é independente de k (desde que k seja um número fixo, finito), porque o fator (n+1)^{k} é subexponencial e não afeta o termo exponencial 2^n que domina a raiz enésima.

Resposta

R(k)=\dfrac{1}{2}

Exercícios relacionados