• Encontre a solução dos seguintes problemas de corda com extremidades fixas:
    u_{t t}=4 u_{x x}, \operatorname{em}(0,1) \times(0, \infty);
\begin{aligned} & u(0, t)=u(1, t)=0, t \geq 0 \\\ & u(x, 0)=\sin (2 \pi x), \quad x \in[0,1] \\\ & u_{t}(x, 0)=x^{2}-x, \quad x \in[0,1] \end{aligned}

Passo 1

O problema é a equação da onda unidimensional
u_{tt} = 4\,u_{xx},\quad x\in(0,1),\;t>0
com condições de contorno fixas
u(0,t)=0,\quad u(1,t)=0,\quad t\ge0
e condições iniciais
u(x,0)=\sin(2\pi x),\quad u_{t}(x,0)=x^{2}-x,\quad x\in[0,1].
O método é separar variáveis e usar série de Fourier em senos para satisfazer as condições de contorno.

Passo 2

Procuramos solução da forma
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(\omega_{n}t)+B_{n}\sin(\omega_{n}t)\bigr)\sin(n\pi x),
onde o problema de autovalor em x
X''+\lambda X=0,\quad X(0)=X(1)=0
com \lambda_{n}=(n\pi)^{2} e modos X_{n}(x)=\sin(n\pi x). Como a velocidade da onda é c=\sqrt{4}=2, os autovalores de tempo são
\omega_{n}=c\,n\pi=2n\pi.

Passo 3

Da condição inicial
u(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}A_{n}\sin(n\pi x)=\sin(2\pi x)
vemos que só o termo n=2 aparece. Assim
A_{2}=1,\qquad A_{n}=0\;\text{para }n\neq2.

Passo 4

Da condição inicial de velocidade
u_{t}(x,0)=\sum_{n=1}^{\infty}B_{n}\,\omega_{n}\sin(n\pi x)=x^{2}-x
vemos que
\omega_{n}B_{n}=2n\pi\,B_{n}
é a série de Fourier de x^{2}-x. Logo
2n\pi\,B_{n}=2\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x
ou seja
B_{n}=\frac{1}{n\pi}\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x.

Passo 5

Calculamos a integral por partes e obtemos
\int_{0}^{1}(x^{2}-x)\sin(n\pi x)\,\mathrm{d}x =\frac{2\bigl[(-1)^{n}-1\bigr]}{n^{3}\pi^{3}}.
Logo
B_{n} =\frac{1}{n\pi}\cdot\frac{2\bigl[(-1)^{n}-1\bigr]}{n^{3}\pi^{3}} =\frac{2\bigl[(-1)^{n}-1\bigr]}{n^{4}\pi^{4}}.

Passo 6

Portanto a solução final é
u(x,t) =\underbrace{\sin(2\pi x)\cos(4\pi t)}_{\text{modo }n=2} +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl[(-1)^{n}-1\bigr]}{n^{4}\pi^{4}} \sin(n\pi x)\,\sin(2n\pi t).

Resposta

u(x,t) =\sin(2\pi x)\cos(4\pi t) +\sum_{n=1}^{\infty} \frac{2\bigl[(-1)^{n}-1\bigr]}{n^{4}\pi^{4}} \sin(n\pi x)\,\sin(2n\pi t).

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