Considere o problema de Cauchy y^prime=3 raiz[3]y^2, y(1)=0. Mostre que y(x)=(x-1)^3 e y2(x)=0 são soluções do problema. Isto contradiz o T.E.U.? Justifique. Pode encontrar outra solução?

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy
dydx=3raiz[3]y^2, y(1)=0
que é um EDO de primeira ordem. Vamos precisar verificar duas funções candidatas como soluções, discutir o Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U.) e mostrar por que não há contradição, além de construir outra solução não trivial.

Passo 2

Verificamos a função y1(x)=(x-1)^3:
  1. Derivando temos
y1'(x)=3(x-1)^2
  1. Note que
3raiz[3]y1(x)^2=3raiz[3]l((x-1)^3r)^2 =3raiz[3](x-1)^6=3(x-1)^2
  1. Portanto y1' =3raiz[3]y1^2 e claramente y1(1)=0. Logo y1 é solução.

Passo 3

Verificamos a função constante y2(x)=0:
  1. Derivada é y2'(x)=0.
  2. E
3raiz[3]y2(x)^2=3raiz[3]0=0
  1. Assim y2' =3raiz[3]y2^2 e y2(1)=0. Logo y2 também é solução.

Passo 4

Será que isso contradiz o T.E.U.? O teorema garante unicidade quando a função f(y)=3raiz[3]y^2 é Lipschitz em y perto do ponto inicial. Calculando
dfdy=2y^-1/3,
vemos que esse coeficiente explode em y=0. Logo f não é Lipschitz em y=0 e o T.E.U. não assegura unicidade. Não há contradição.

Passo 5

Podemos até construir infinitas soluções “mistas”. Por exemplo, fixe algum c>1 e defina
y(x)= 0,&x<= c, (x-c)^3,&x>c
Em x=1 temos y(1)=0 e pode-se checar que em cada ramo a EDO é satisfeita e que a junção em x=c é C^1. Isso mostra que há ainda outras soluções além de y1 e y2.

Resposta

Por exemplo, para qualquer constante c>1,
y(x)= 0,&x<= c, (x-c)^3,&x>c
é outra solução do problema de Cauchy.

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