Considere o problema de Cauchy
. Mostre que
são soluções do problema. Isto contradiz o T.E.U.? Justifique. Pode encontrar outra solução?
Passo 1
O enunciado pede para resolver o problema de Cauchy
que é um EDO de primeira ordem. Vamos precisar verificar duas funções candidatas como soluções, discutir o Teorema de Existência e Unicidade (T.E.U.) e mostrar por que não há contradição, além de construir outra solução não trivial.
Passo 2
Verificamos a função
:
- Derivando temos
- Note que
- Portanto
e claramente . Logo é solução.
Passo 3
Verificamos a função constante
:
- Derivada é
. - E
- Assim
e . Logo também é solução.
Passo 4
Será que isso contradiz o T.E.U.? O teorema garante unicidade quando a função
é Lipschitz em
perto do ponto inicial. Calculando
vemos que esse coeficiente explode em
. Logo
não é Lipschitz em
e o T.E.U. não assegura unicidade. Não há contradição.
Passo 5
Podemos até construir infinitas soluções “mistas”. Por exemplo, fixe algum
e defina
Em
temos
e pode-se checar que em cada ramo a EDO é satisfeita e que a junção em
é
. Isso mostra que há ainda outras soluções além de
e
.
Resposta
Por exemplo, para qualquer constante
,
é outra solução do problema de Cauchy.