© Encontre a única solução do p.v.i. y^prime+2 x y^2=0, y(0)=-1. Em que intervalo a solução está definida? Isto contradiz o T.E.U? Justifique.

Passo 1

O problema pede a solução do p.v.i. y'+2xy^2=0 com y(0)=-1. O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integrar para encontrar a família de soluções, depois aplicar a condição inicial.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma dfracdydx=-2xy^2 e separamos as variáveis, colocando todos os y de um lado e os x do outro:
dyy^2=-2x,dx

Passo 3

Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos integral y^-2dy, e do direito integral -2x,dx:
integral y^-2dy=integral -2x,dx
-1y=-x^2+C

Passo 4

Agora isolamos y. Multiplicando por -1 e invertendo, obtemos
1y=x^2+C'=x^2+C'

Passo 5

Usamos y(0)=-1 para achar C':
1-1=0^2+C'Rightarrow C'=-1

Passo 6

Logo a solução explícita é
$$
y(x)=\frac{1}{x^2-1}$$

Passo 7

Para que esse y(x) seja bem-definido precisamos de x^2-1neq0, ou seja xneqpm1. Como a condição inicial está em x=0, o intervalo máximo que contém 0 e evita a singularidade é (-1,1).
A função f(x,y)=-2xy^2 e sua derivada parcial partial f/partial y=-4xy são contínuas em todo R^2, então o Teorema de Existência e Unicidade garante solução única local em volta de x=0. O fato dela explodir em x=pm1 não contradiz o teorema, pois ele não assegura existência global.

Resposta

A solução é y(x)=1x^2-1, definida no intervalo (-1,1). Isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade, já que as funções envolvidas são contínuas e o teorema garante apenas existência única local da solução.

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