© Encontre a única solução do p.v.i.
. Em que intervalo a solução está definida? Isto contradiz o T.E.U? Justifique.
Passo 1
O problema pede a solução do p.v.i.
com
. O conteúdo envolvido é EDO de primeira ordem separável, e vamos precisar usar separação de variáveis e integrar para encontrar a família de soluções, depois aplicar a condição inicial.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação na forma
e separamos as variáveis, colocando todos os
de um lado e os
do outro:
Passo 3
Integramos ambos os lados. Do lado esquerdo usamos
, e do direito
:
Passo 4
Agora isolamos
. Multiplicando por
e invertendo, obtemos
Passo 5
Usamos
para achar
:
Passo 6
Logo a solução explícita é
$$
y(x)=\frac{1}{x^2-1}$$
Passo 7
Para que esse
seja bem-definido precisamos de
, ou seja
. Como a condição inicial está em
, o intervalo máximo que contém
e evita a singularidade é
.
A função e sua derivada parcial
são contínuas em todo
, então o Teorema de Existência e Unicidade garante solução única local em volta de
. O fato dela explodir em
não contradiz o teorema, pois ele não assegura existência global.
A função
Resposta
A solução é
, definida no intervalo
. Isso não contradiz o Teorema de Existência e Unicidade, já que as funções envolvidas são contínuas e o teorema garante apenas existência única local da solução.