Determine os pontos (x0, y0) para os quais podemos garantir que o problema de valor inicial,
y^prime(x)=f(x, y(x)), y(x0)=y0
tem uma solução.
f(x, y)=raizy^2-4,

Passo 1

O enunciado pede pra gente achar os pontos (x0,y0) em que o PVI: y'=f(x,y), y(x0)=y0 com f(x,y)=raizy^2-4 garante existência de solução local. O conteúdo é o Teorema de Existência de Picard, que exige f contínua numa vizinhança do ponto inicial.

Passo 2

Primeiro identificamos o domínio onde f está definido e é contínua. Como temos a raiz raizy^2-4, precisamos de
y^2-4>=0,
ou seja lvert yrvert>=2. Logo f(x,y) está definida e contínua para todos os pontos em que |y|>=2.

Passo 3

Para aplicar o Teorema de Existência precisamos que o ponto (x0,y0) seja interior a um retângulo contido no domínio de continuidade de f. Isso só ocorre se y0^2-4>0, ou seja,
|y0|>2

Passo 4

Conclusão: para qualquer x0inR e |y0|>2, existe uma solução local para o PVI.

Resposta

Os pontos iniciais que garantem existência de solução são todos (x0,y0) com x0inR e |y0|>2.

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