Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
100 ux x=ut, 0<x<1, t>0
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I) lu(0, t)=0 u(1, t)=0
(II) lu(0, t)=50 u(1, t)=80
(III) lux(0, t)=0 ux(1, t)=0.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A) u(x, 0)=10
(B) u(x, 0)=x
Determine a solução u(x, t) do problema com:
CC: II e CI: A

Passo 1

O enunciado trata da equação de calor
100,uxx=ut, 0<x<1,;t>0,
com condições de contorno não-homogêneas
u(0,t)=50, u(1,t)=80 tagCC II
e condição inicial homogênea em x
u(x,0)=10 tagCI A
Vamos usar o método de separar a parte estacionária (solução em regime permanente) para homogeneizar as CC, e então aplicar séries de Fourier-seno.

Passo 2

Procuramos a solução estacionária qs(x) que satisfaça
100,qs''(x)=0, qs(0)=50,;qs(1)=80
Integrando duas vezes dá-se
qs(x)=ax+b
Das CC qs(0)=b=50 e qs(1)=a+b=80, segue a=30. Logo
qs(x)=30,x+50

Passo 3

Definimos a nova função
v(x,t)=u(x,t)-qs(x)
para que v satisfaça CC homogêneas:
v(0,t)=u(0,t)-qs(0)=50-50=0, v(1,t)=80-80=0
Também herda a equação de calor
100,vxx=vt
A condição inicial torna-se
v(x,0)=u(x,0)-qs(x)=10-(30x+50)=-30x-40

Passo 4

Como as CC em v são homogêneas v(0,t)=v(1,t)=0, usamos expansão em senos:
v(x,t)=sumn=1^inftyBn,e^-100,(npi)^2,t,sin(npi x)
Os autovalores são lambdan=100,(npi)^2 e os autovetores Xn(x)=sin(npi x).

Passo 5

Os coeficientes Bn vêm da expansão de v(x,0) em senos:
v(x,0)=-30x-40=sumn=1^inftyBnsin(npi x)
Pela ortogonalidade de sin(npi x) em [0,1],
Bn=2integral0^1(-30x-40),sin(npi x),dx

Passo 6

Calculamos
integral0^1xsin(npi x),dx =(-1)^n+1npi, integral0^1sin(npi x),dx =1-(-1)^nnpi
Logo
Bn =2l[-30(-1)^n+1npi-401-(-1)^nnpir] =140(-1)^n-80npi

Passo 7

Portanto a solução para v é
v(x,t) =sumn=1^infty140(-1)^n-80npi ,e^-100n^2pi^2 t,sin(npi x),
e então a solução do problema original é
u(x,t)=qs(x)+v(x,t) =30x+50 +sumn=1^infty140(-1)^n-80npi ,e^-100n^2pi^2 t,sin(npi x)

Resposta

u(x,t)=30x+50 +sumn=1^infty140(-1)^n-80npi ,e^-100n^2pi^2 t,sin(npi x)

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