Considere o problema de condução de calor numa barra metálica de comprimento unitário, descrito pela equação:
Considere também as seguintes condições de contorno:
(I)
(II)
(III)
.
Considere, por fim, as distribuições iniciais de temperatura na barra dadas por:
(A)
(B)
Determine a solução
do problema com:
e
(I)
(II)
(III)
(A)
(B)
Passo 1
O enunciado trata da equação de calor
com condições de contorno não-homogêneas
e condição inicial homogênea em
x
Vamos usar o método de separar a parte estacionária (solução em regime permanente) para homogeneizar as CC, e então aplicar séries de Fourier-seno.
Passo 2
Procuramos a solução estacionária
qs(x) que satisfaça
Integrando duas vezes dá-se
Das CC
qs(0)=b=50 e
qs(1)=a+b=80 , segue
a=30 . Logo
Passo 3
Definimos a nova função
para que
v satisfaça CC homogêneas:
Também herda a equação de calor
A condição inicial torna-se
Passo 4
Como as CC em
v são homogêneas
v(0,t)=v(1,t)=0 , usamos expansão em senos:
Os autovalores são
lambdan=100,(npi)^2 e os autovetores
Xn(x)=sin(npi x) .
Passo 5
Os coeficientes
Bn vêm da expansão de
v(x,0) em senos:
Pela ortogonalidade de
sin(npi x) em
[0,1] ,
Passo 6
Calculamos
Logo
Passo 7
Portanto a solução para
v é
e então a solução do problema original é