Se f(x)=ln (sen(x^2)), calcule f^prime(raizpi / 4).
raizpi

Passo 1

Nesse exercício, temos a função f(x)=lnl(sin(x^2)r). O conteúdo principal é derivação de função composta usando regra da cadeia, além da derivada de ln(u) e de sin(u).

Passo 2

Para calcular f'(x), aplicamos a regra da cadeia em três etapas: primeiro a derivada de ln(u) em relação a u, depois a derivada de sin(v) em relação a v e por fim a derivada de x^2 em relação a x. Assim,
f'(x)=1sin(x^2)cdotcos(x^2)cdot 2x=2xcos(x^2)sin(x^2)=2xcot(x^2)

Passo 3

Agora avaliamos em x=raizpi/4:
f'(raizpi/4)=2l(raiztfracpi4r)cotl((raiztfracpi4)^2r)=2raizpi2cotl(tfracpi4r)=raizpicdot 1=raizpi

Resposta

raizpi

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