Considere o problema
l ut t-c^2 ux x=F(x, t) 0<x<L, t>0 u(0, t)=u(L, t)=0 t>0 u(x, 0)=u0(x) ut(x, 0)=u1(x)
onde F(x, t)=F1(x) sin (w t), F1(x) é uma função dada e w>0.
Suponha que uma solução desse problema seja da forma u(x, t)=X(x) sin (w t). Mostre que X(x) satisffaz a EDO X^prime prime(x)+alpha^2 X(x)=f(x), em que f(x)=-F1(x)c^2, alpha=wc.

Passo 1

O enunciado nos dá a equação da onda forçada
ut t-c^2ux x=F(x,t)=F1(x)sin(wt),
com condições de contorno homogêneas em x=0 e x=L. Vamos supor uma solução da forma
u(x,t)=X(x),sin(wt)
O conteúdo é simplesmente substituir essa forma na PDE e isolar a função X(x).

Passo 2

Calcular a derivada segunda de u em relação a t. Como
u(x,t)=X(x),sin(wt),
temos
ut = X(x),wcos(wt),
ut t = X(x),l(-w^2sin(wt)r) = -w^2,X(x),sin(wt)

Passo 3

Calcular a derivada segunda de u em relação a x. Como X não depende de t,
ux = X'(x),sin(wt),
ux x = X''(x),sin(wt)

Passo 4

Substituir ut t e ux x na equação da onda:
ut t-c^2ux x = l(-w^2,X(x),sin(wt)r) - c^2l(X''(x),sin(wt)r) = F1(x),sin(wt)

Passo 5

Fatorando sin(wt)neq0 (para t genérico) e rearranjando, obtemos
-,w^2,X(x) - c^2,X''(x) = F1(x) Longrightarrow X''(x) + w^2c^2,X(x) = -F1(x)c^2
Reconhecendo alpha = wc e f(x)=-F1(x)c^2, concluímos a EDO desejada.

Resposta

X''(x) + alpha^2,X(x) = f(x), alpha = wc, f(x) = -F1(x)c^2

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