Q. 5(3,2). Determine os limites abaixo:
(b) lim x 0 tg^2(x)+sen^2(x)x+sen(x)

Passo 1

O enunciado pede o limite
limxto 0tan^2(x)+sin^2(x)x+sin(x)
O conteúdo é cálculo de limites que resultam em forma indeterminada 0/0, e vamos usar a Regra de l’Hôpital, que consiste em derivar numerador e denominador.

Passo 2

Verificamos a forma indeterminada pela substituição direta:
tan^2(0)+sin^2(0)=0, 0+sin(0)=0,
logo é 0/0. Podemos aplicar l’Hôpital.

Passo 3

Derivamos numerador e denominador em relação a x:
Derivada do numerador:
l(tan^2(x)r)'=2,tan(x)sec^2(x), l(sin^2(x)r)'=2,sin(x)cos(x),
logo
(num)'=2,tan(x)sec^2(x)+2,sin(x)cos(x)
Derivada do denominador:
(x+sin(x))'=1+cos(x)

Passo 4

Pela Regra de l’Hôpital,
limxto0tan^2(x)+sin^2(x)x+sin(x) =limxto02,tan(x)sec^2(x)+2,sin(x)cos(x)1+cos(x)
Ao fazer xto0:
tan(0)=0, sec^2(0)=1, sin(0)=0, cos(0)=1. Logo o numerador vale 0 e o denominador vale 2, dando
02=0

Resposta

O limite é 0.

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