1.4D Calcule o limite das seguintes seqüências:
(j) (1+2n)^n

Passo 1

O enunciado pede o limite da sequência
(1+2n)^n
quando ntoinfty. O conteúdo envolve limites de sequências e a definição da função exponencial.

Passo 2

Definimos
an = (1+2n)^n
e consideramos o logaritmo
ln an = n ,ln!l(1+tfrac2nr)
Encontrar limntoinftyan equivale a encontrar limntoinftyln an e depois aplicar a exponencial.

Passo 3

Reescrevemos
limntoinftyln an = limntoinftyln!l(1+tfrac2nr)1/n
É um caso 0/0, então aplicamos a regra de L’Hôpital:
ddnln!l(1+tfrac2nr) = -2n^2l(1+tfrac2nr), ddnl(1/nr) = -1n^2
Logo,
limntoinftyln!l(1+tfrac2nr)1/n = limntoinfty-2n^2(1+tfrac2n)-1n^2 = limntoinfty21+tfrac2n = 2
Portanto
limntoinftyln an = 2

Passo 4

Como limntoinftyln an=2, temos
limntoinftyan = limntoinftye^ln an = e^2

Resposta

O limite da sequência l(1+tfrac2nr)^n é e^2.

Exercícios relacionados