Considere o problema
l y^prime prime-y^prime+14 y=0 y(0)=2 y^prime(0)=b
Determine os valores de b para que
lim x longrightarrow+infty y(x)=+infty

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - y' + tfrac14y = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=2 e y'(0)=b, e pede os valores de b tais que
limxto+inftyy(x)=+infty
O conteúdo aqui é resolução de EDOs homogêneas por equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada:
r^2 - r + tfrac14 = 0
O discriminante é
De<a = (-1)^2 - 4cdot 1 cdot tfrac14 = 1 - 1 = 0,
logo há raiz dupla
r = 12

Passo 3

Para raiz dupla r=tfrac12, a solução geral da EDO é
y(x) = l(C1 + C2,xr)e^tfracx2

Passo 4

Usamos as condições iniciais para determinar C1 e C2. De y(0)=2 vem
C1 = 2
Calculamos
y'(x) = ddxl[(C1 + C2,x)e^tfracx2r] = e^tfracx2l(C2 + tfracC1 + C2,x2r),
então
y'(0) = C2 + C12 = C2 + 1 = b Longrightarrow C2 = b - 1
Assim
y(x) = l(2 + (b-1),xr),e^tfracx2

Passo 5

Para xto+infty, o fator e^x/2 é sempre positivo e cresce exponencialmente, de modo que o sinal e o crescimento de y(x) são ditados por
2 + (b-1),x
  • Se b-1>0 (isto é, b>1), então para x grande o termo (b-1)x domina e é positivo, dando y(x)to+infty.
  • Se b-1=0 (ou seja b=1), então y(x)=2e^x/2to+infty.
  • Se b-1<0 (isto é b<1), então (2+(b-1)x)to-infty e como multiplica e^x/2>0 tem-se y(x)to-infty.

Resposta

Os valores de b que garantem limxto+inftyy(x)=+infty são
b >= 1

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