Considere o problema
Determine os valores de
b para que
lim x longrightarrow+infty y(x)=+infty
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita às condições iniciais
y(0)=2 e
y'(0)=b , e pede os valores de
b tais que
O conteúdo aqui é resolução de EDOs homogêneas por equação característica.
Passo 2
Formamos a equação característica associada:
O discriminante é
logo há raiz dupla
Passo 3
Para raiz dupla
r=tfrac12 , a solução geral da EDO é
Passo 4
Usamos as condições iniciais para determinar
C1 e
C2 . De
y(0)=2 vem
Calculamos
então
Assim
Passo 5
Para
xto+infty , o fator
e^x/2 é sempre positivo e cresce exponencialmente, de modo que o sinal e o crescimento de
y(x) são ditados por
- Se
(isto é,b-1>0 ), então parab>1 grande o termox domina e é positivo, dando(b-1)x .y(x)to+infty - Se
(ou sejab-1=0 ), entãob=1 .y(x)=2e^x/2to+infty - Se
(isto éb-1<0 ), entãob<1 e como multiplica(2+(b-1)x)to-infty tem-see^x/2>0 .y(x)to-infty
Resposta
Os valores de
b que garantem
limxto+inftyy(x)=+infty são