Encontre a solução geral da equação
para
. Para quais valores de
, todas as soluções tendem a zero, quando
?
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
nos casos
,
e
, e quer saber para quais valores de
todas as soluções tendem a zero quando
. Vamos usar o método da equação característica.
Passo 2
Associamos à equação diferencial a equação característica
O discriminante é
A natureza das raízes
(reais distintas, reais iguais ou complexas) dependerá do sinal de
.
Passo 3
Para
temos
, isto é, raízes complexas conjugadas
A solução geral é
Passo 4
Para
temos
, raiz dupla
. A solução geral é
Passo 5
Para
temos
, raízes reais distintas
A solução geral é
Passo 6
Para que todas as soluções tendam a zero quando
, precisamos que ambas as partes reais das raízes sejam negativas.
– Nos casos e
as partes reais valem
.
– Para temos
, em que
garante que
.
Quando surge pelo menos uma raiz com parte real
e nem todas as soluções decaem. Portanto, a condição necessária e suficiente é
.
– Nos casos
– Para
Quando
Resposta
Para
:
Para
:
Para
:
Todas as soluções tendem a zero quando
se, e somente se,
.