Encontre a solução geral da equação
y^prime prime+2 y^prime+alpha y=0
para alpha>1, alpha=1, alpha<1. Para quais valores de alpha, todas as soluções tendem a zero, quando x longrightarrow+infty ?

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear homogênea de coeficientes constantes
y'' + 2y' + alpha,y = 0
nos casos alpha>1, alpha=1 e alpha<1, e quer saber para quais valores de alpha todas as soluções tendem a zero quando xto+infty. Vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Associamos à equação diferencial a equação característica
lambda^2 + 2lambda + alpha = 0
O discriminante é
De<a = 2^2 - 4alpha = 4,(1-alpha)
A natureza das raízes lambda (reais distintas, reais iguais ou complexas) dependerá do sinal de De<a.

Passo 3

Para alpha>1 temos De<a<0, isto é, raízes complexas conjugadas
lambda = -1 pm iraizalpha - 1
A solução geral é
y = e^-xl(C1cos(raizalpha-1,x) + C2sin(raizalpha-1,x)r)

Passo 4

Para alpha=1 temos De<a=0, raiz dupla lambda=-1. A solução geral é
y = (C1 + C2,x),e^-x

Passo 5

Para alpha<1 temos De<a>0, raízes reais distintas
lambda1,2 = -1 pm raiz1-alpha
A solução geral é
y = C1,e^(-1 + raiz1-alpha)x + C2,e^(-1 - raiz1-alpha)x

Passo 6

Para que todas as soluções tendam a zero quando xto+infty, precisamos que ambas as partes reais das raízes sejam negativas.
– Nos casos alpha>1 e alpha=1 as partes reais valem -1.
– Para 0<alpha<1 temos -1pmraiz1-alpha, em que raiz1-alpha<1 garante que -1+raiz1-alpha<0.
Quando alpha<=0 surge pelo menos uma raiz com parte real >=0 e nem todas as soluções decaem. Portanto, a condição necessária e suficiente é alpha>0.

Resposta

Para alpha>1:
y = e^-xl(C1cos(raizalpha-1,x) + C2sin(raizalpha-1,x)r)
Para alpha=1:
y = (C1 + C2,x),e^-x
Para alpha<1:
y = C1,e^(-1 + raiz1-alpha)x + C2,e^(-1 - raiz1-alpha)x
Todas as soluções tendem a zero quando xto+infty se, e somente se, alpha>0.

Exercícios relacionados