Mostre que a solução do problema
l y^prime prime+2 y^prime=0 y(0)=a y^prime(0)=b
tende para uma constante quando x longrightarrow+infty. Determine essa constante.

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y^primeprime + 2,y^prime = 0
sujeita às condições iniciais y(0)=a e y'(0)=b.
Conteúdo: equação característica, solução geral, imposição de condições iniciais e limite quando xto+infty.

Passo 2

Assumimos uma solução da forma y=e^lambda x. Substituindo em y^primeprime+2y^prime=0 dá a equação característica
lambda^2 + 2lambda = 0
Resolvendo, obtemos
lambda(lambda+2)=0 Longrightarrow lambda1=0,;lambda2=-2

Passo 3

Como as raízes são distintas, a solução geral é
y(x) = C1 e^0cdot x + C2 e^-2x = C1 + C2 e^-2x,
onde C1 e C2 são constantes a determinar.

Passo 4

Calculamos a derivada para impor y'(0)=b:
y'(x) = ddxl(C1 + C2 e^-2xr) = -2,C2 e^-2x

Passo 5

Usamos as condições iniciais:
y(0)=C1 + C2 = a, y'(0)=-2,C2 = b
Da segunda, C2 = -tfracb2. Substituindo na primeira:
C1 = a - C2 = a + tfracb2

Passo 6

A solução particular fica
y(x) = l(a + tfracb2r) - tfracb2,e^-2x
Como e^-2xto0 quando xto+infty, segue que
limxto+inftyy(x) = a + tfracb2

Resposta

A solução tende para a constante a + b2 quando xto+infty.

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