Use condições de Kuhn-Tucker para resolver: maximize
, sujeito a
,
.
Passo 1
O problema é
maximizar
maximizar
sujeito a
O conteúdo que vamos usar é otimização com restrições e as condições de Kuhn–Tucker (KKT).
Passo 2
Formamos a Lagrangiana com multiplicadores
para a restrição de círculo e
para
e
:
As condições KKT são
- Estacionaridade:
- Viabilidade primal:
- Viabilidade dual:
- Complementaridade:
Passo 3
Verificamos que não há ponto interior estrito
, pois aí
e
dariam
, absurdo. Logo a restrição
é ativa e
, isto é
Passo 4
Como esperamos
e
no máximo, pelo complemento logo
. Das equações de estacionaridade segue
Substituindo em
dá
com
.
Passo 5
Verificamos que pontos de fronteira nos eixos
ou
não satisfazem
. Portanto o único ponto KKT viável é
Resposta
O valor máximo de
é
atingido em
.