Use condições de Kuhn-Tucker para resolver: maximize f(x, y)=x+y, sujeito a x^{2}+y^{2} \leq 4, x, y \geq 0.

Passo 1

O problema é
maximizar
f(x,y)=x+y
sujeito a
x^{2}+y^{2}\le4,\quad x\ge0,\quad y\ge0.
O conteúdo que vamos usar é otimização com restrições e as condições de Kuhn–Tucker (KKT).

Passo 2

Formamos a Lagrangiana com multiplicadores \lambda para a restrição de círculo e \mu_{1},\mu_{2} para x\ge0 e y\ge0:
L(x,y,\lambda,\mu_{1},\mu_{2}) = x+y +\lambda\,(4 - x^{2} - y^{2}) +\mu_{1}\,x +\mu_{2}\,y.
As condições KKT são
  1. Estacionaridade:
\frac{\partial L}{\partial x}=1 - 2\lambda x + \mu_{1}=0, \quad \frac{\partial L}{\partial y}=1 - 2\lambda y + \mu_{2}=0.
  1. Viabilidade primal:
x\ge0,\;y\ge0,\;x^{2}+y^{2}\le4.
  1. Viabilidade dual:
\lambda\ge0,\;\mu_{1}\ge0,\;\mu_{2}\ge0.
  1. Complementaridade:
\lambda\,(4 - x^{2}-y^{2})=0,\; \mu_{1}\,x=0,\; \mu_{2}\,y=0.

Passo 3

Verificamos que não há ponto interior estrito x>0,y>0,x^{2}+y^{2}<4, pois aí \lambda=0 e \mu_{1}=\mu_{2}=0 dariam 1=0, absurdo. Logo a restrição x^{2}+y^{2}\le4 é ativa e \lambda>0, isto é
x^{2}+y^{2}=4.

Passo 4

Como esperamos x>0 e y>0 no máximo, pelo complemento logo \mu_{1}=\mu_{2}=0. Das equações de estacionaridade segue
1 - 2\lambda x=0, \quad 1 - 2\lambda y=0 \quad\Longrightarrow\quad \lambda=\frac{1}{2x}=\frac{1}{2y} \;\Rightarrow\; x=y.
Substituindo em x^{2}+y^{2}=4
2x^{2}=4 \;\Rightarrow\; x=y=\sqrt{2},
com \lambda=\tfrac{1}{2\sqrt{2}}>0.

Passo 5

Verificamos que pontos de fronteira nos eixos y=0 ou x=0 não satisfazem \mu_{1},\mu_{2}\ge0. Portanto o único ponto KKT viável é
(x,y)=(\sqrt{2},\sqrt{2}).

Resposta

O valor máximo de f é
f(\sqrt{2},\sqrt{2})=2\sqrt{2},
atingido em \bigl(x,y\bigr)=(\sqrt{2},\sqrt{2}).

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