Usando o princípio de Maupertuis, mostre que um projétil disparado nas imediações da superfície da Terra segue uma trajetória parabólica.
Passo 1
O enunciado pede que a gente mostre, a partir do princípio de Maupertuis, que um projétil lançado perto da superfície da Terra (onde a aceleração da gravidade é constante
) descreve uma parábola. Vamos usar o princípio de Maupertuis na forma do “ação abreviada”
com energia total
fixa, potencial gravitacional
e momento
.
Passo 2
Expressamos
como funcional de
. Em coordenadas cartesianas na vertical
e na horizontal
, o elemento de arco é
Então
e podemos desprezar o fator constante
. Definimos a “Lagrangiana”
Passo 3
Como
não depende explicitamente de
, usamos a identidade de Beltrami (primeiro integral de Euler–Lagrange):
Calculando
temos
Isolando,
Passo 4
Da relação acima extraímos
onde
e
. Assim
que é uma equação separável.
Passo 5
Separamos e integramos:
Ao resolver para
, obtemos
que é claramente a equação de uma parábola.
Resposta
A trajetória do projétil é dada por
isto é, uma parábola.