Usando o princípio de Maupertuis, mostre que um projétil disparado nas imediações da superfície da Terra segue uma trajetória parabólica.

Passo 1

O enunciado pede que a gente mostre, a partir do princípio de Maupertuis, que um projétil lançado perto da superfície da Terra (onde a aceleração da gravidade é constante g) descreve uma parábola. Vamos usar o princípio de Maupertuis na forma do “ação abreviada”
J = \int_{A}^{B} p\,\mathrm{d}s,
com energia total E fixa, potencial gravitacional U(y)=m\,g\,y e momento \displaystyle p=m\sqrt{2\bigl(E - U(y)\bigr)/m}=\sqrt{2m\,(E - m g y)}.

Passo 2

Expressamos J como funcional de y(x). Em coordenadas cartesianas na vertical y e na horizontal x, o elemento de arco é
\mathrm{d}s = \sqrt{1 + \bigl(y'(x)\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x.
Então
J[y] = \int_{x_{A}}^{x_{B}} \sqrt{2m\,(E - m g\,y)}\;\sqrt{1 + \bigl(y'\bigr)^{2}}\;\mathrm{d}x,
e podemos desprezar o fator constante \sqrt{2m}. Definimos a “Lagrangiana”
L\bigl(y,y'\bigr) = \sqrt{E - m g\,y}\;\sqrt{1 + (y')^{2}}.

Passo 3

Como L não depende explicitamente de x, usamos a identidade de Beltrami (primeiro integral de Euler–Lagrange):
H = y'\,\frac{\partial L}{\partial y'} - L =\text{const}.
Calculando
\frac{\partial L}{\partial y'} = \sqrt{E - m g\,y}\;\frac{y'}{\sqrt{1 + (y')^{2}}},
temos
H = \sqrt{E - m g\,y}\;\Bigl(\frac{(y')^{2}}{\sqrt{1+(y')^{2}}}-\sqrt{1+(y')^{2}}\Bigr) = -\frac{\sqrt{E - m g\,y}}{\sqrt{1+(y')^{2}}} = \text{const} = -C.
Isolando,
\frac{\sqrt{E - m g\,y}}{\sqrt{1+(y')^{2}}}=C \quad\Longrightarrow\quad 1 + (y')^{2} = \frac{E - m g\,y}{C^{2}}.

Passo 4

Da relação acima extraímos
(y')^{2} = \frac{E - m g\,y}{C^{2}} - 1 = \frac{E - C^{2} - m g\,y}{C^{2}} = A - \alpha\,y,
onde A=(E - C^{2})/C^{2} e \alpha = m g/C^{2}. Assim
\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} = \pm\sqrt{A - \alpha\,y},
que é uma equação separável.

Passo 5

Separamos e integramos:
\int\frac{\mathrm{d}y}{\sqrt{A - \alpha\,y}} = \pm\int\mathrm{d}x \;\Longrightarrow\; -\frac{2}{\alpha}\sqrt{A - \alpha\,y}= \pm x + D.
Ao resolver para y, obtemos
A - \alpha\,y = \frac{\alpha^{2}}{4}(x + D)^{2} \quad\Longrightarrow\quad y(x) = \frac{A}{\alpha} - \frac{\alpha}{4}\,(x + D)^{2},
que é claramente a equação de uma parábola.

Resposta

A trajetória do projétil é dada por
y(x)=\frac{A}{\alpha}-\frac{\alpha}{4}\,(x+D)^{2},
isto é, uma parábola.

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