onde r é a distância entre as cargas. Considere uma partícula movendo-se num plano sob a ação deste potencial. Usando coordenadas polares, encontre a hamiltoniana H\left(r, \theta, p_{r}, p_{\theta}\right) e as equações de Hamilton. Mostre que p_{\theta} é constante e reduza o problema radial a uma equação diferencial de primeira ordem para r.
Passo 1
O enunciado trata de uma partícula de massa m movendo-se num plano sob o potencial generalizado de Weber
ou seja, um potencial que depende também da velocidade radial \dot r. Vamos usar mecânica lagrangiana e depois passar ao formalismo hamiltoniano: 1) escrever Lagrangiana L=T - U, 2) obter os momentos canônicos p_r e p_\theta, 3) construir a Hamiltoniana H(p_r,p_\theta,r), 4) escrever as equações de Hamilton, mostrar que p_\theta é constante e 5) reduzir a equação radial a uma ODE de primeira ordem para r(t).
Passo 2
A Lagrangiana em coordenadas polares (r,\theta) é
L = T - U
T = \tfrac12 m\bigl(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\bigr), \quad U = \frac{e\,e'}{r}\Bigl(1+\frac{\dot r^{2}}{2c^{2}}\Bigr).
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L = \tfrac12 m\dot r^{2} + \tfrac12 m r^{2}\dot\theta^{2} - \frac{e\,e'}{r} - \frac{e\,e'}{2c^{2}r}\,\dot r^{2}.
Passo 3
Calculamos os momentos canônicos:
p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,\dot r = \dot r\Bigl(m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\Bigr),