Na eletrodinâmica de Weber a força entre duas cargas em movimento é gerada pelo potencial generalizado
U(r, \dot{r})=\frac{e e^{\prime}}{r}\left(1+\frac{\dot{r}^{2}}{2 c^{2}}\right)
onde r é a distância entre as cargas. Considere uma partícula movendo-se num plano sob a ação deste potencial. Usando coordenadas polares, encontre a hamiltoniana H\left(r, \theta, p_{r}, p_{\theta}\right) e as equações de Hamilton. Mostre que p_{\theta} é constante e reduza o problema radial a uma equação diferencial de primeira ordem para r.

Passo 1

O enunciado trata de uma partícula de massa m movendo-se num plano sob o potencial generalizado de Weber
U(r,\dot r)=\frac{e\,e'}{r}\Bigl(1+\frac{\dot r^{2}}{2c^{2}}\Bigr),
ou seja, um potencial que depende também da velocidade radial \dot r. Vamos usar mecânica lagrangiana e depois passar ao formalismo hamiltoniano: 1) escrever Lagrangiana L=T - U, 2) obter os momentos canônicos p_r e p_\theta, 3) construir a Hamiltoniana H(p_r,p_\theta,r), 4) escrever as equações de Hamilton, mostrar que p_\theta é constante e 5) reduzir a equação radial a uma ODE de primeira ordem para r(t).

Passo 2

A Lagrangiana em coordenadas polares (r,\theta) é
L = T - U
T = \tfrac12 m\bigl(\dot r^{2}+r^{2}\dot\theta^{2}\bigr), \quad U = \frac{e\,e'}{r}\Bigl(1+\frac{\dot r^{2}}{2c^{2}}\Bigr).
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L = \tfrac12 m\dot r^{2} + \tfrac12 m r^{2}\dot\theta^{2} - \frac{e\,e'}{r} - \frac{e\,e'}{2c^{2}r}\,\dot r^{2}.

Passo 3

Calculamos os momentos canônicos:
p_{r} = \frac{\partial L}{\partial \dot r} = m\dot r - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,\dot r = \dot r\Bigl(m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\Bigr),
p_{\theta} = \frac{\partial L}{\partial \dot\theta} = m\,r^{2}\dot\theta.

Passo 4

Invertemos para \dot r e \dot\theta:
\dot r = \frac{p_{r}}{\,m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,}, \quad \dot\theta = \frac{p_{\theta}}{m\,r^{2}}.
A Hamiltoniana é
H = p_{r}\dot r + p_{\theta}\dot\theta - L.
Substituindo e reorganizando (notando que L = T - U) dá
H = \frac{p_{r}^{2}} {2\Bigl(m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\Bigr)} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\,r^{2}} + \frac{e\,e'}{r}.

Passo 5

As equações de Hamilton são
\dot r = \frac{\partial H}{\partial p_{r}} = \frac{p_{r}} {\,m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,}, \quad \dot \theta = \frac{\partial H}{\partial p_{\theta}} = \frac{p_{\theta}}{m\,r^{2}},
\dot p_{r} = -\frac{\partial H}{\partial r}, \quad \dot p_{\theta} = -\frac{\partial H}{\partial \theta} = 0.

Passo 6

De \dot p_{\theta}=0 segue diretamente que
p_{\theta} = \text{constante},
o que é a conservação do momento angular.

Passo 7

Para reduzir a dinâmica radial, note que a energia E=H é constante. Assim
E = \frac{p_{r}^{2}} {2\Bigl(m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\Bigr)} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\,r^{2}} + \frac{e\,e'}{r}.
Isolando p_{r} e usando \dot r = p_{r}/\bigl(m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\bigr), obtemos a ODE de primeira ordem
\dot r = \pm \sqrt{ \frac{2\bigl(E - \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\,r^{2}} - \frac{e\,e'}{r}\bigr)} {\,m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,} }.

Resposta

Hamiltoniana:
H(r,\theta,p_{r},p_{\theta}) = \frac{p_{r}^{2}} {2\Bigl(m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\Bigr)} + \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\,r^{2}} + \frac{e\,e'}{r}.
Equações de Hamilton:
\dot r = \frac{p_{r}} {\,m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,}, \quad \dot \theta = \frac{p_{\theta}}{m\,r^{2}}, \quad \dot p_{r} = -\frac{\partial H}{\partial r}, \quad \dot p_{\theta}=0.
Conservação de p_{\theta}.
Equação radial de 1ª ordem:
\dot r = \pm \sqrt{ \frac{2\Bigl(E - \frac{p_{\theta}^{2}}{2m\,r^{2}} - \frac{e\,e'}{r}\Bigr)} {\,m - \frac{e\,e'}{c^{2}r}\,} }.

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