Considere o problema do oscilador harmônico fracamente amortecido submetido a uma força externa constante
, então:
(1) (2,0 pontos) Encontre detalhadamente a solução estacionária e transiente.
(1) (2,0 pontos) Encontre detalhadamente a solução estacionária e transiente.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico fracamente amortecido que está sendo afetado por uma força externa constante $ F(t) = F_0 $. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre movimentos oscilatórios e soluções de equações diferenciais. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções: a solução estacionária (ou seja, o comportamento após um tempo grande, onde as oscilações se estabilizam) e a solução transiente (que descreve como o sistema chega à solução estacionária).
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve o movimento de um oscilador harmônico amortecido com uma força externa. A equação geral é:
Aqui:
- $ m $ é a massa do oscilador,
- $ b $ é o coeficiente de atrito (amortecimento),
- $ k $ é a constante elástica da mola,
- $ x $ é a posição,
- $ F(t) $ é a força externa aplicada.
No nosso caso, $ F(t) = F_0 $, uma força constante. Então, a equação fica:
Passo 3
Para resolver essa equação diferencial, a gente procura primeiro a solução geral, que é a soma da solução homogênea (transiente) e da solução particular (estacionária).
Ou seja:
Onde:
- $ x_h(t) $ resolve a equação homogênea (quando $ F_0 = 0 $),
- $ x_p(t) $ é uma solução particular para a equação completa com $ F_0 $.
Passo 4
Vamos achar a solução homogênea $ x_h(t) $. Para isso, consideramos a equação sem a força externa:
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação será da forma:
Onde:
- $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de amortecimento,
- $ \omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \gamma^2} $ é a frequência angular amortecida,
- $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Essa parte da solução descreve como o sistema retorna ao equilíbrio após ser perturbado, e decai ao longo do tempo devido ao amortecimento.
Passo 5
Agora, vamos achar a solução particular $ x_p(t)
F_0 $), a solução particular também será uma constante, digamos $ x_p = A $.
Substituindo $ x_p = A $ na equação original:
Resolvendo para $ A $:
Então, a solução particular é:
Essa é a posição para a qual o oscilador se estabiliza quando o tempo tende ao infinito.
Resposta
A solução geral do sistema é:
Onde:
- Solução Transiente (homogênea):
- Solução Estacionária (particular):