Considere o problema do oscilador harmônico fracamente amortecido submetido a uma força externa constante F(t)=F0, então:
(1) (2,0 pontos) Encontre detalhadamente a solução estacionária e transiente.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o oscilador harmônico fracamente amortecido que está sendo afetado por uma força externa constante $ F(t) = F_0 $. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente sobre movimentos oscilatórios e soluções de equações diferenciais. Nosso objetivo aqui é encontrar duas soluções: a solução estacionária (ou seja, o comportamento após um tempo grande, onde as oscilações se estabilizam) e a solução transiente (que descreve como o sistema chega à solução estacionária).

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a equação que descreve o movimento de um oscilador harmônico amortecido com uma força externa. A equação geral é:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = F(t)
Aqui:
  • $ m $ é a massa do oscilador,
  • $ b $ é o coeficiente de atrito (amortecimento),
  • $ k $ é a constante elástica da mola,
  • $ x $ é a posição,
  • $ F(t) $ é a força externa aplicada.
No nosso caso, $ F(t) = F_0 $, uma força constante. Então, a equação fica:
m

Passo 3

Para resolver essa equação diferencial, a gente procura primeiro a solução geral, que é a soma da solução homogênea (transiente) e da solução particular (estacionária).
Ou seja:
x(t) = xh(t) + xp(t)
Onde:
  • $ x_h(t) $ resolve a equação homogênea (quando $ F_0 = 0 $),
  • $ x_p(t) $ é uma solução particular para a equação completa com $ F_0 $.

Passo 4

Vamos achar a solução homogênea $ x_h(t) $. Para isso, consideramos a equação sem a força externa:
xh(t)
Essa é uma equação diferencial de segunda ordem com coeficientes constantes. A solução geral dessa equação será da forma:
m d^2xdt^2 + b dxdt + kx = 0
Onde:
  • $ \gamma = \frac{b}{2m} $ é a taxa de amortecimento,
  • $ \omega_d = \sqrt{\frac{k}{m} - \gamma^2} $ é a frequência angular amortecida,
  • $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes que dependem das condições iniciais.
Essa parte da solução descreve como o sistema retorna ao equilíbrio após ser perturbado, e decai ao longo do tempo devido ao amortecimento.

Passo 5

Agora, vamos achar a solução particular $ x_p(t) xp(t) çé F_0 $), a solução particular também será uma constante, digamos $ x_p = A $.
Substituindo $ x_p = A $ na equação original:
F0
Resolvendo para $ A $:
xp = A
Então, a solução particular é:
xp = A
Essa é a posição para a qual o oscilador se estabiliza quando o tempo tende ao infinito.

Resposta

A solução geral do sistema é:
x(t) = e^-gamma t ( C1 cos(omegad t) + C2 sin(omegad t) ) + F0k
Onde:
  • Solução Transiente (homogênea):
xh(t) = e^-gamma t ( C1 cos(omegad t) + C2 sin(omegad t) )
  • Solução Estacionária (particular):
xp(t) = F0k

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