Considere o problema do oscilador harmônico fracamente amortecido submetido a uma força externa constante F(t)=F0, então:
(2) (2,0 pontos) Escreva a energia mecânica total E(t) como função do tempo.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem aqui um exercício sobre oscilador harmônico fracamente amortecido que está sendo puxado por uma força externa constante $ F(t) = F_{0} $. O que a gente precisa fazer é escrever a energia mecânica total $ E(t) $ desse sistema em função do tempo. Pra resolver isso, vamos precisar entender como funciona a energia em um sistema oscilatório com amortecimento e força externa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia mecânica total $ E(t) $ de um oscilador é a soma da energia cinética ($ E_{cin} E(t) E_{pot} $). Ou seja:
Ecin
A energia cinética é dada por:
Epot
E a energia potencial é:
E(t) = Ecin(t) + Epot(t)
Aqui, $ m $ é a massa do oscilador, $ k $ é a constante elástica da mola, e $ x(t) $ é a posição em função do tempo.

Passo 3

Como temos um oscilador amortecido e sujeito a uma força constante, a solução para $ x(t) $ geralmente tem uma parte que decai exponencialmente no tempo devido ao amortecimento, além de uma posição de equilíbrio deslocada pela força externa.
A forma geral da solução para $ x(t) $ é:
x(t)
Onde:
  • $ x_{eq} = \frac{F_{0}}{k} $ é a posição de equilíbrio.
  • $ A $ é a amplitude da oscilação.
  • $ \gamma $ é a taxa de amortecimento.
  • $ \omega $ é a frequência angular do sistema.
  • $ \phi $ é a fase inicial.

Passo 4

Vamos calcular a velocidade $ \frac{dx}{dt} $:
dxdt
Agora, vamos quadrar a velocidade para encontrar a energia cinética:
dxdt = -A gamma e^-gamma t cos(omega t + phi) - A omega e^-gamma t sin(omega t + phi)
Isso simplifica para termos que envolvem $ e^{-2\gamma t} $ e funções trigonométricas.

Passo 5

Para a energia potencial, usamos $ x(t) $:
x(t)
Expandindo isso, teremos termos constantes e termos com $ e^{-\gamma t} $.

Passo 6

Somando $ E_{cin}(t) $ e $ E_{pot}(t) $, observamos que os termos que variam com o tempo são multiplicados por $ e^{-2\gamma t} $, o que indica que a energia total tende a uma energia constante à medida que $ t $ aumenta, devido ao amortecimento.

Resposta

A energia mecânica total do oscilador harmônico fracamente amortecido submetido a uma força externa constante $ F(t) = F_{0} $ é dada por:
F(t) = F0
Onde $ x_{eq} = \frac{F_{0}}{k} $ é a posição de equilíbrio, $ A $ é a amplitude das oscilações, $ \gamma $ é a taxa de amortecimento, e $ \omega $ é a frequência angular do sistema.

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