1). A taxa de contagem de uma fonte radioativa é 4000 contagens por segundo no instante t=0. Depois de 10 s , a taxa de contagem diminui para 1000 contagens por segundo. (a) Qual é a meia-vida da fonte? (b) Qual é a taxa de contagem depois de 20 s?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre decaimento radioativo. A gente vai precisar entender como a taxa de contagem de uma fonte radioativa diminui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial, que envolve conceitos de meia-vida.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento radioativo:
N(t) = N0 cdot e^-lambda t
Onde:
  • $ N(t) $ é a taxa de contagem no tempo $ t $.
  • $ N_0 $ é a taxa de contagem inicial.
  • $ \lambda $ é a constante de decaimento.
  • $ t $ é o tempo.
Nosso objetivo é encontrar a meia-vida ($ T_{1/2} $), que é o tempo necessário para a taxa de contagem diminuir pela metade.

Passo 3

Primeiro, vamos encontrar a constante de decaimento ($ \lambda $). Sabemos que:
  • $ N_0 = 4000 $ contagens por segundo.
  • Depois de 10 segundos, $ N(10) = 1000 $ contagens por segundo.
Vamos usar esses valores na fórmula:
lambda
Dividindo os dois lados por 4000:
N0 = 4000
Simplificando:
N(10) = 1000
Para resolver para $ \lambda $, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
1000 = 4000 cdot e^-lambda cdot 10
Calculando $ \ln(0,25) $:
10004000 = e^-10lambda
Então:
0,25 = e^-10lambda

Passo 4

Agora que temos $ \lambda $, podemos encontrar a meia-vida usando a relação:
lambda
Substituindo os valores:
T1/2 = ln 2lambda

Passo 5

Para a parte (b), queremos saber a taxa de contagem depois de 20 segundos. Usamos novamente a fórmula do decaimento:
N(20) = 4000 cdot e^-0,13863 cdot 20
Calculando o expoente:
-0,13863 cdot 20 = -2,7726
Então:
N(20) = 4000 cdot e^-2,7726 approx 4000 cdot 0,0625 = 250 , conta>=ns por segundo

Resposta

(a) A meia-vida da fonte é aproximadamente 5 segundos.
(b) A taxa de contagem depois de 20 segundos é 250 contagens por segundo.

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