1). A taxa de contagem de uma fonte radioativa é 4000 contagens por segundo no instante
. Depois de 10 s , a taxa de contagem diminui para 1000 contagens por segundo. (a) Qual é a meia-vida da fonte? (b) Qual é a taxa de contagem depois de 20 s?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre decaimento radioativo. A gente vai precisar entender como a taxa de contagem de uma fonte radioativa diminui ao longo do tempo. Para resolver isso, vamos usar a fórmula do decaimento exponencial, que envolve conceitos de meia-vida.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a fórmula do decaimento radioativo:
Onde:
- $ N(t) $ é a taxa de contagem no tempo $ t $.
- $ N_0 $ é a taxa de contagem inicial.
- $ \lambda $ é a constante de decaimento.
- $ t $ é o tempo.
Nosso objetivo é encontrar a meia-vida ($ T_{1/2} $), que é o tempo necessário para a taxa de contagem diminuir pela metade.
Passo 3
Primeiro, vamos encontrar a constante de decaimento ($ \lambda $). Sabemos que:
- $ N_0 = 4000 $ contagens por segundo.
- Depois de 10 segundos, $ N(10) = 1000 $ contagens por segundo.
Vamos usar esses valores na fórmula:
Dividindo os dois lados por 4000:
Simplificando:
Para resolver para $ \lambda $, aplicamos o logaritmo natural nos dois lados:
Calculando $ \ln(0,25) $:
Então:
Passo 4
Agora que temos $ \lambda $, podemos encontrar a meia-vida usando a relação:
Substituindo os valores:
Passo 5
Para a parte (b), queremos saber a taxa de contagem depois de 20 segundos. Usamos novamente a fórmula do decaimento:
Calculando o expoente:
Então:
Resposta
(a) A meia-vida da fonte é aproximadamente 5 segundos.
(b) A taxa de contagem depois de 20 segundos é 250 contagens por segundo.